拓展欧几里得小结

什么是拓展欧几里得？简单的说，就是求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解

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现在我们令g = gcd(a,b)
则方程变成了ax + by = g
假如我们现在知道了关于这个方程的一个特解x0, y0，我们就可以用一种方法求出所有的整数解。
说的比较模糊，现在整理一下。
上面提到了两个问题
一、怎么求出这个特解？
二、怎么由特解推出其它的所有解？

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一、求特解

我们知道，欧几里得公式可以由这个式子表示：
gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
不断往下连等，直到b = 0，此时a即为最大公约数
那么我们来讨论另一个问题，下面两个式子有没有关系呢？

a * x1 + b * y1 = g(a,b)
b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)

如果看这篇博客的你还没接触过拓展欧几里得，那么可能你还不知道现在在干什么。
那么，我可以告诉你，只要找出x1和x2的关系、y1和y2的关系，我们就能求出方程a * x + b * y = g的一个特解

回到刚才那个问题，很显然，两个等式右边就是欧几里得的公式
那么我们就能得出
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2
其中a%b可以换成a-(a/b)*b
式子变成了
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2
因为我们要找x1 y1和x2 y2的关系
我们可以用待定系数法，按照这种方法把右边化成b * (x2 - (a / b) * y2) + a * y2
则等式变成了
a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2)
(上面的过程最好动手演算)
好，我们现在得出了下面两个等式：
x1 = y2（等式两边a的系数相同）
y1 = x2 - (a / b) * y2 （等式两边b的系数相同）
也就是说，我们知道了方程b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b) 的解x2, y2，就可以得到方程a * x1 + b * y1 = g(a,b) 的解x1,y1了，这个小问题告一段落。

对于方程a * x + b * y = gcd(a,b)，我们可以不断的往下变成b * x + (a % b) y = gcd(a,b) ，按照欧几里得的过程，b会变成0，即此时方程a * x + b * y = gcd(a,b) 因为b = 0，变成了a * x = gcd(a,b) ，还是由欧几里得算法得到，此时a就等于gcd(a,b)，所以得到由原方程往下推了不知道多少次的方程 a * x = gcd(a,b) 来说，得到一个解x = 1, y = 0。现在得到了这个方程的解，再回溯回去，就可以得出原方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的一个特解。

OK，这个问题解决了。

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二、怎么利用特解推出其他所有整数解？

先说结论：
对于关于x，y的方程a * x + b * y = g 来说，让x增加b/g，让y减少a/g，等式两边还相等。（注意一个增加一个减少）
为什么呢？
这个很容易得到，我们算一下即可。
让x增加b/g，对于a * x这一项来说，增加了a * b / g，可以看出这是a,b的最小公倍数
同样，对于b * y这一项来说，y 减少 a/b，这一项增加了a * b / g，同样是a,b的最小公倍数。
可以看出，这两项一项增加了一个最小公倍数，一项减少了一个最小公倍数，加起来的和仍然等于g。
这样我们就明白了，其实这种操作就是增加一个最小公倍数，减少一个最小公倍数，这样来改变x,y的值，来求出所有x,y的通解的。

那为什么改变的是最小公倍数而不是更小的数呢？因为是 最小 公倍数呀…不会再找到更小的值了，这个自行体会吧…

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到这里为止，开头提出的两个问题都已经解决。
也就是说，对于方程a * x + b * y = gcd(a,b)，我们能找出所有符合条件的解了。而且，还可以告诉你，这个方程是一定有无数个解的。

那么来一个更一般的问题，对于方程a * x + b * y = c 来说，它的解怎么求呢？
答：如果c % gcd(a,b) != 0，即c不是gcd的整数倍，则无解。
如果c % gcd(a,b) == 0 且 c / gcd(a,b) = t，那么求出方程 a * x + b * y = gcd(a,b)的所有解x,y，将x,y乘上t，对应的x’,y’即是方程a * x + b * y = t * gcd(a,b)的解
很好理解，就不解释了，仔细看上面的这段话就能理解

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附上拓展欧几里得的代码

void e_gcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		gcd = a;
	}
	else
	{
		e_gcd(b, a % b, gcd, y, x);
		y -= x * (a / b)
	}
}

这就是一个比较基础的拓展欧几里得的小结～