416 Partition Equal Subset Sum

数组分割子集问题的动态规划解法

最新推荐文章于 2025-04-04 22:37:25 发布

weixin_39145266

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分类专栏： FCN # Medium LeetCode # Attempted # DynamicProgramming

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博客围绕一个算法问题展开，给定仅含正整数的非空数组，判断能否将其分成元素和相等的两个子集。先尝试回溯法但复杂度高，后采用动态规划，定义一维dp数组，通过特定规则更新数组来求解，还强调了第二个for循环的遍历方向。

1 题目

Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:

Each of the array element will not exceed 100.
The array size will not exceed 200.

Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]

Output: true

Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]

Output: false

Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

2 标准解

2.1 分析

给定一个数组，问这个数组能不能分成两个非空子集合，且两个子集合的元素之和相同。等价于找到一个非空子集合，使得其数字之和为原数组之和的一半。

尝试使用回溯法判断，但是复杂度过大。考虑动态规划，定义一个一维的dp数组，其中dp[i]表示原数组是否可以取出若干个数字，其和为i。初始化dp[0]为true，遍历原数组中的数字，对于每个数字nums[i]，更新dp数组。因为数组中都是正数，所以只会越加越大。对于区间[nums[i], target] 中的任意一个数字j，如果 dp[j - nums[i]] 为true的话，再加上nums[i]，就可以组成数字j了，dp[j]=true。dp[j]已经为true的不变，则有：

dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]] (nums[i] <= j <= target)

第二个for循环一定要从target遍历到nums[i]，而不能反过来，因为nums[i]仅可使用一次，如果num[j] = true，并且从左向右遍历，则num[j + i*k] = true（i=1,2,3... && j+ik <= target）。

2.2 代码

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0), target = sum >> 1;
        if (sum & 1) return false;
        vector<bool> dp(target + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int num : nums) {
            for (int i = target; i >= num; --i) {
                dp[i] = dp[i] || dp[i - num];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};