直线交点计算

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一、直线与直线

1.两直线定义：

$P_0+s\overrightarrow{d_0}$和$P_1+t\overrightarrow{d_1}$

2.定义一种二维叉积运算：

$KR((x_0,y_0),(x_1,y_1))=x_0{y}_1-x_1{y}_0$
该运算与三维相关，$(x_0,y_0,0)\times (x_1,y_1,0)=(0,0,KR((x_0,y_0),(x_1,y_1)))$,
具有交换性：$KR(\vec{u}，\vec{v})=-KR(\vec{v}，\vec{u})$

3.交点存在判断

使用KC可以判断两直线是否平行，$KR(\vec{u}，\vec{v})==0$则说明两直线是平行（叉积性质），当然得可以考虑数值计算公差问题，一般$||KR(\vec{u}，\vec{v})||\le \epsilon$,我们就认为两直线是平行的没有交点。但这是一种绝对误差的检查平行方法，$KR(\vec{u}，\vec{v})$的值与向量的取值有很大关系，因此，一般用正弦值做平行检测，即：$||KR(\vec{u}，\vec{v})||/(\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert )=|\sin \theta |\le \epsilon$。
最后，为避免除法和平方根计算（这两种运算计算耗时长），我们可以使用下式做平行检查判断：
$$||KR(\vec{u}，\vec{v})|{|}^2\le {\Vert \vec{u}\Vert }^2{\Vert \vec{v}\Vert }^2|{\epsilon }^2$$
满足该条件则说明两直线平行没有交点。

4.交点计算公式

分别求出s和t后，就可以得到其交点。联立两个方程可得：
$$s\overrightarrow{d_0}-t\overrightarrow{d_1}=P_1-P_0$$
令$\Delta =P_1-P_0$,由克莱姆定理则$s=KR(\Delta ,\overrightarrow{d_1})/KR(\overrightarrow{d_0},\overrightarrow{d_1}),t=KR(\Delta ,\overrightarrow{d_0})/KR(\overrightarrow{d_0},\overrightarrow{d_1})$

二、直线与射线

1.方程 直线$P_0+s\overrightarrow{d_0}，s\in R$和射线$P_1+t\overrightarrow{d_1},t\in [0,+\infty ]$

2.平行判断，这里同1.3一样做平行判断

3.交点计算

同1.4，求出t，判断t是否在定义域$t\in [0,+\infty ]$,t在定义域内时，两者相交，交点同1.4。

三、射线与射线

1.同二中类似，可自行推理