数据结构与算法之数学计算相关（实时更新）

1.  位运算

Leetcode 191. Number of 1 Bits 二进制中1的个数（剑指offer10题）

Write a function that takes an unsigned integer and returns thenumber of ’1' bits it has (also known as the Hammingweight).

For example, the 32-bit integer ’11' has binary representation 00000000000000000000000000001011, so the function should return 3

不能使用让原始数n不断右移然后&1的操作，因为如果n是负数的话，右移最高位会补1

法1：引入flag=1，使其不断左移

 

有个小细节需要注意就是如果直接if(n&flag!= 0)是会报错的

法2：n-1 可以把n的最右边的1变成0，将1右边的0全部变为1，1左边的位全都保持不变，(n-1)&n的结果只会将最右边的1变为0，其余位全都保持不变，在不断将最右边的1变成0的过程就会使得最后n变成0

Leetcode 201. Bitwise AND of Numbers Range（某范围内数据的“与“位运算）

Given a range [m, n] where 0 <= m <=n <= 2147483647, return the bitwise AND of all numbers in this range,inclusive.

For example, given the range [5, 7], youshould return 4.

观察下面的规律

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

可以看到，第一位的变化是0101010的变化，第二位是00110011的变化，第三位是0000111100001111的变化，以此类推第d位就是pow（2，d-1）个0 pow（2，d-1）个1的变化，因此，从m~n的范围中，pow（2，d-1）< n-m的位d与出来的结果都是0，其余的位置就要取决于m和n本身的大小了

Leetcode 476. Number Complement

Given a positive integer, output itscomplement number. The complement strategy is to flip the bits of its binaryrepresentation.

Note:

1. The given integer is guaranteed to fit within the range of a 32-bit signed integer.
2. You could assume no leading zero bit in the integer’s binary representation.

Example 1:

Input: 5

Output: 2

Explanation: The binaryrepresentation of 5 is 101 (no leading zero bits), and its complement is 010.So you need to output 2.

Example 2:

Input: 1

Output: 0

Explanation: The binaryrepresentation of 1 is 1 (no leading zero bits), and its complement is 0. Soyou need to output 0.

选择先对num进行非操作再进行与操作会比直接进行异或操作要快。

其中Integer.highestOneBit(n)的功能是，取数字n的二进制表示最高的一位，并将后位全部补0

 

2.  数学计算

Leetcode 168. Excel Sheet Column Title   excel的列

Given a positive integer,return its corresponding column title as appear in an Excel sheet.

For example:

    1 -> A

    2 -> B

    3 -> C

    ...

    26 -> Z

    27 -> AA

    28 -> AB 

十进制变成26进制

Leetcode 171. Excel Sheet Column Number

Related to question ExcelSheet Column Title

Given a column title asappear in an Excel sheet, return its corresponding column number.

For example:

    A -> 1

    B -> 2

    C -> 3

    ...

    Z -> 26

    AA -> 27

    AB -> 28 

26进制变成10进制

Leetcode 172. Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number oftrailing zeroes in n!.

Note: Yoursolution should be in logarithmic time complexity.

看结果的末尾一共有多少个0，其实就是看这个数的阶乘能分出多少个5， 1~n中有n/5个5的倍数，至少有n/5个5，但是考虑到还会有25（5*5，是5的倍数但是包含两个5），125（包含3个5）的情况出现，所以要写循环。

Leetcode 264. Ugly Number II 求第n个丑数（剑指offer34）

Write a program to find the n-thugly number.

Ugly numbers are positive numbers whose prime factors onlyinclude 2,3, 5. For example, 1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 is the sequence of the first 10 ugly numbers.

Note that 1 is typically treated as an ugly number, and n doesnot exceed 1690.

丑数就是因子只有2,3,5 的数字，那只要用我前面得到的丑数依次去乘2,3,5就可以得到新的丑数，但是要注意乘出来之后数的大小

Leetcode 233. Number of Digit One 从1~n中所有数字中出现1的次数和（剑指offer 32）

Given an integer n, count thetotal number of digit 1 appearing in all non-negative integers less than orequal to n.

For example:
Given n = 13,
Return 6, because digit 1 occurred in the following numbers: 1, 10, 11, 12, 13.

11算出现两次，举个栗子对于一个很大的数234567，先看从34568~234567（工200000个数）中出现的1的个数，先看1开头的（只算上首位为1的数量）,那对于上述范围，1开头的数字一共有100000个，注意这边因为234567是包含1000000~200000的，如果变成34568~134567的话实际上1开头的数字就只有34567个了，然后再考虑除首位以外的位置出现1的可能性，由于34568~234567这200000个数字出去首位一共是5位，那个其中一位出现1 的次数是10^4（其余的数字都是0~9），对于5位则有1出现的次数是5 * 10^4，到现在为止34568~234567这个范围内1出现的次数就计算出来了，接下来只需要用同样的方法计算4568~34567中1出现的次数，然后递归即可。

扩展：如果Leetcode 233题目改成只要出现1就算一次的话，那么1~n中一共有几次

还是用上述的方法，只不过这次不是计算1的次数，是计算所有位置都不出现1的数字的数量，然后用总数相减即可（代码就略啦啦啦啦~~）

3.  完成某种数学符号的功能

Leetcode 166. Fraction to Recurring Decimal

Given two integersrepresenting the numerator and denominator of a fraction, return the fractionin string format.

If the fractional part is repeating,enclose the repeating part in parentheses.

For example,

• Given numerator = 1, denominator = 2, return "0.5".
• Given numerator = 2, denominator = 1, return "2".
• Given numerator = 2, denominator = 3, return "0.(6)".

就是按照除法的步骤进行循环，需要考虑的情况较多，其中关于两个数的正负问题，如果相除的结果绝对值不大于1，是不会带着正负号的，所以要预先判断一下结果的正负。考虑到越界问题，可以用一个很无赖的方法，就是将int转成long来解决，然后可以在数据结构的使用上注意可以稍微的提快速度，比如说可以用StringBuffer代替String，利用位运算符等，上代码：

注：.是个特殊符号不能用split分开

附：String 字符串常量
StringBuffer 字符串变量（线程安全）
StringBuilder 字符串变量（非线程安全）
     简要的说， String 类型和 StringBuffer 类型的主要性能区别其实在于 String 是不可变的对象, 因此在每次对 String 类型进行改变的时候其实都等同于生成了一个新的 String 对象，然后将指针指向新的 String 对象，所以经常改变内容的字符串最好不要用 String ，因为每次生成对象都会对系统性能产生影响，特别当内存中无引用对象多了以后， JVM 的 GC 就会开始工作，那速度是一定会相当慢的。
    而如果是使用StringBuffer 类则结果就不一样了，每次结果都会对 StringBuffer 对象本身进行操作，而不是生成新的对象，再改变对象引用。所以在一般情况下我们推荐使用 StringBuffer ，特别是字符串对象经常改变的情况下。而在某些特别情况下， String 对象的字符串拼接其实是被 JVM 解释成了 StringBuffer 对象的拼接，所以这些时候 String 对象的速度并不会比 StringBuffer 对象慢，而特别是以下的字符串对象生成中， String 效率是远要比 StringBuffer 快的：
       String S1 = “This is only a” +“ simple” + “ test”;
       StringBuffer Sb = newStringBuilder(“This is only a”).append(“ simple”).append(“ test”);
       你会很惊讶的发现，生成 StringS1 对象的速度简直太快了，而这个时候 StringBuffer 居然速度上根本一点都不占优势。其实这是 JVM 的一个把戏，在 JVM 眼里，这个
       String S1 = “This is only a” +“ simple” + “test”; 其实就是：
       String S1 = “This is only asimple test”; 所以当然不需要太多的时间了。但大家这里要注意的是，如果你的字符串是来自另外的String 对象的话，速度就没那么快了，譬如：
   String S2 = “This is only a”;
   String S3 = “ simple”;
   String S4 = “ test”;
   String S1 = S2 +S3 + S4;
   这时候 JVM 会规规矩矩的按照原来的方式去做
在大部分情况下 StringBuffer >String
StringBuffer
Java.lang.StringBuffer线程安全的可变字符序列。一个类似于 String 的字符串缓冲区，但不能修改。虽然在任意时间点上它都包含某种特定的字符序列，但通过某些方法调用可以改变该序列的长度和内容。
可将字符串缓冲区安全地用于多个线程。可以在必要时对这些方法进行同步，因此任意特定实例上的所有操作就好像是以串行顺序发生的，该顺序与所涉及的每个线程进行的方法调用顺序一致。
StringBuffer 上的主要操作是 append 和 insert 方法，可重载这些方法，以接受任意类型的数据。每个方法都能有效地将给定的数据转换成字符串，然后将该字符串的字符追加或插入到字符串缓冲区中。append 方法始终将这些字符添加到缓冲区的末端；而 insert 方法则在指定的点添加字符。
例如，如果 z 引用一个当前内容是“start”的字符串缓冲区对象，则此方法调用 z.append("le") 会使字符串缓冲区包含“startle”，而 z.insert(4, "le") 将更改字符串缓冲区，使之包含“starlet”。
在大部分情况下 StringBuilder >StringBuffer

java.lang.StringBuilde
java.lang.StringBuilder一个可变的字符序列是5.0新增的。此类提供一个与 StringBuffer 兼容的 API，但不保证同步。该类被设计用作StringBuffer 的一个简易替换，用在字符串缓冲区被单个线程使用的时候（这种情况很普遍）。如果可能，建议优先采用该类，因为在大多数实现中，它比 StringBuffer 要快。两者的方法基本相同。