视觉SLAM十四讲——第三讲三维空间刚体运动

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《视觉SLAM十四讲》第三讲知识点整理+习题

正在学习SLAM相关知识，将一些关键点及时记录下来。

知识点整理

本讲主要介绍V-SLAM基本问题之一：一个刚体在三维空间中的运动是如何描述的。其中，介绍了旋转矩阵、四元数、欧拉角的意义。以及线性代数库Eigen。

1. 刚体：有位置还有自身的姿态
2. 向量与坐标：向量是不依赖于坐标系而存在的，且向量不会随着坐标系的旋转而发生运动。仅在指定3D空间中的某个坐标系时，才可以谈论向量在此坐标系下的坐标
3. 内积和外积：内积a.b=|a||b|cos<a,b>; 外积axb=a^b，垂直于这两个向量，大小为|a||b|sin<a,b>。这里引入了反对称符号，可以将向量a转换为一个反对称矩阵。外积只对三维向量存在定义，还能用外积表示向量的旋转
4. 旋转向量：对于右手系而言，从a旋转到b时，用右手的4个指头从a转向b，大拇指指向就是旋转向量的法向量，大小由a和b之间的夹角决定
5. 欧式变换：保证同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。
6. 旋转矩阵：是一个行列式为1的正交矩阵，反之也成立。R^T刻画了与R相反的旋转。
7. 变换矩阵与齐次坐标：在一个三维向量的末尾添加1，将其变成了四维向量，称为齐次坐标。在齐次坐标中，某个点x的每个分量同乘一个非零常数k后，仍然表示同一个点。引入变换矩阵可以使得整个关系变成线性关系

Eigen线性代数库

提供了快速的有关矩阵的线性代数运算，还包括解方程等功能。Eigen是一个纯用头文件搭建起来的库，在使用时只需要引入Eigen的头文件即可，不需要链接库文件。

	//Eigen基础
	//稠密矩阵的代数运算（逆、特征值等）
	#include <Eigen/Dense>
----------------------------------------------------------------------------------------------------
	Eigen::Matrix<float, 2, 3> matrix_23;//参数依次为类型、行数、列数
	Eigen::Vector3d v_3d;
	//可以直接使用<<来向矩阵中输入数据，且用（）来访问元素，在（）中指定行号和列号
	//不同类型的矩阵不能直接相乘，需要转换类型
	Eigen::Matrix<double, 2, 1> result=matrix_23.cast<double>() * v_3d;
----------------------------------------------------------------------------------------------------
	// 特征值
    // 实对称矩阵可以保证对角化成功
    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> eigen_solver ( matrix_33.transpose()*matrix_33 );
    cout << "Eigen values = \n" << eigen_solver.eigenvalues() << endl;
    cout << "Eigen vectors = \n" <