常用的收敛级数整理_万字长文看够幂级数

原文在我优快云博客：万字长文让你看够幂级数，用了mdnice果然好看多了，也轻松好多哈哈哈。
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一、幂级数是什么？

由常数项乘以幂函数组成的无穷级数：

它在

内一定收敛，通常是否取到端点要具体讨论。这里

，且

可以为0或无穷大。

二、常见的幂级数

暂时写上这些，有空再来补充。

三、幂级数重要结论：在收敛域内可逐项求导和积分

例1：(

)

例2：(

)

例3： 已知

，

，那么

由于

，因此

，所以得到上面的公式：

例4： 从

出发我们能推出些啥结论? (注意不是

, 而是

的反函数)

注意到

， 可以得出：

当然还没结束：

四、用幂级数求数项级数的和

例5： 求

由于它在

内收敛，因此可令

，有

例6：

由于级数

的收敛域也是

，因此可令

，于是有

五、用幂级数求数列通项公式

幂级数还可以用来求数列的通项公式，基本的思路为：

这种方法又称母函数法，通常见于组合数学。

例7. 求Fibonacci数列的通项公式：

先设：

考虑Fibonacci的定义

，有

解出

又：

注意到

很好求，它们是分母的根：

再代回上式得到：

因此：

六、用幂级数解微分方程

例8. 考虑一个简单的方程：

设它的解为一个幂级数：

考虑：

带回原方程得到：

对第一项的系数进行一下调整：

实际上就是将

中的

换成

.

整理得到：

接下来就有意思了，由于上面的幂级数必须为零，它又是无穷级数，因此每项系数必为0：

由上式可以总结出以下规律：

接下来的事情虽然看似麻烦，但仍然清楚：

再重新整理：

注意到：

因此：

这个例子只是一个比较简单的问题。当然完全可以直接用简单的方法求解。但这种方法在求解其它更为复杂的非线性方程的时候十分有用，因为对于许多方程它并不一定有初等表达式。但如果其幂级数解存在的话，那么就可以对它进行 近似计算。这种数值计算方法通常又比普通的差分法要精确得多，目前也是计算数学界较为主流的一种方法。
参考资料： http:// people.math.sc.edu/gira rdi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf https:// math.berkeley.edu/~neu/ undergrad_chap1.pdf https://www. math.cuhk.edu.hk/course _builder/1516/math1010c/Power_series.pdf https:// web.ma.utexas.edu/users /m408s/CurrentWeb/LM14-3-10.php http:// math.caltech.edu/~syye/ teaching/courses/Ma8_2015/Lecture%20Notes/ma8_wk10.pdf https:// tutorial.math.lamar.edu /classes/de/seriessolutions.aspx