常见收敛级数

0.常见级数列表

https://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series

1.想到或者搜到的证明

$$\begin{equation} 1+\frac {1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+ ... =\frac{\pi^2}{6} \end{equation}$$
推导证明：
$$\begin{equation} sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \end{equation}$$
同时,有：
$$\begin{equation} sin(x)=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2})(1-\frac{x^2}{(3\pi)^2})... \end{equation}$$
上式满足 $x=k\pi$时， $sin(x)=0$，并且 $x=0$时， $sin'(x)=1$
两个式字中的 $x^3$系数应该相同：
$$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{(2\pi)^2}-\frac{1}{(3\pi)^2}-...$$
整理一下，可得:
$$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac {1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ ...$$

几何证明：
https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

其他：
随便取两个正整数，他们互素的概率是 $\frac{6}{\pi^2}$，
证明:https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI
总结一下就是，使用图中的公式：

这个公式的证明：

还有一种证明方法：
先用几何数列的求和公式，

11−12z11−13z