利用单位圆方法证明   sin (α + β)= …   cos(α+β)= …,是进一步证明大部分三角函数公式的基础。
 
1、 sin (α + β) =sin α cos β+  cos α sin β
在笛卡尔坐标系中以原点 O 为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段:
  两角和与差的三角函数公式的证明
如图中所示,容易看出:
sin (α + β) =CF sin α =AB cos α =OB   sin β =CD cos β =OD
则:
 
两角和与差的三角函数公式的证明 
两角和与差的三角函数公式的证明
 
  两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明
 
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平面几何的证明方法:如图所示,过程见下面的【评论】中新浪网友的提示
(非常感谢这位网友的提示,让我们看到了证明一个定理的多种途径,真是妙不可言!)
两角和与差的三角函数公式的证明
 
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附:如何证明托勒密定理?
 
托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
  从这个定理可以推出 正弦余弦的和差公式及一系列的三角 恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.(具体的推导方法详见数学目录下的博文,来自网友的提供!)
 
两角和与差的三角函数公式的证明 
思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB;只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。
 
证明:以AB为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC;
在ΔABE和ΔACD中,
∵   ∠BAE=∠DAC;
∠ABE=∠ACD;
∴   △ABE∽△ACD;
∴   AB·DC=BE·AC     ①
∵   ∠BAE=∠DAC;
∴   ∠DAE=∠CAB;
在ΔADE和ΔACB中,
∵   ∠ADE=∠ACB;
∠DAE=∠CAB;
∴   △ADE∽△ACB;
∴   AD·BC=DE·AC     ②
∴  ①+②得:
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=(BE+DE)·AC=BD·AC。
 
结论:该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的,叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD这样的等积式时,如果等式左边可以合二为一,则考虑证一对三角形相似,否则,在 ACBD的其中一条线段上找到一个分点,构造两个三角形相似。”