【三角】和差角公式的证明与积化和差和差化积公式的推导

最新推荐文章于 2025-02-25 18:07:07 发布
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分类专栏： 基础数学 文章标签： 三角公式
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这篇博客详细介绍了三角公式的基础知识，包括正弦、余弦的奇偶性质，以及和差角公式的证明。通过几何方法推导了正切、余切的和差角公式，并利用这些公式证明了和差化积的四组等式。同时，提到了应用这些公式时如何解决实际问题，例如通过设立二元方程求解特定角度的三角函数值。

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基础三角公式

基本三角公式
单位圆

所需基本三角公式：

sin(a) = -sin(-a) 

cos(a) = cos(-a)

 

正切与正弦/余弦的和/差角公式的证明

证明正切的和差角公式 证明正弦、余弦的和差角公式

由右图可知 sin(a+b) 和 cos(a+b) 公式，将 b 用 -b 替换即可得差角公式

由左图可知 tan(a+b) 的公式，将b用-b替换即可得差角公式。由 cot = 1/tan 可得余切的和差角公式

 

和差化积公式的证明

基于和差角公式得如下四组等式

cos(a+b) - cos(a-b) = cos(b)cos(a) - sin(b)sin(a) - [cos(b)cos(a) + sin(b)sin(a)] = -2sin(b)sin(a)

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几种反函数和差角公式的推导
m0_51640754的博客
12-12 4355
已知：tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) 那么令a=arctanm,b=arctann 即m=tana,n=tanb 代入原式： tan(arctanm+arctann)=(m+n)/(1-mn) 两边同取arctan： arctanm+arctann=arctan[(m+n)/(1-mn)] 右边裂项得 arctann+arctanm=arctan[m/(1-mn)+n/(1-mn)] 这一步主要目的是将右边拆成两项和，有不同的拆分法，所以最终得到的公式也不只一种。这里只推
三角恒等变换公式
kitagawa_myouya的博客
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三角恒等变换公式
三角函数两角和差公式推导
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做一斜边为1的直角△ABC,任意旋转非kΠ,k=NkΠ,k=NkΠ,k=N,补充如图,令∠ABC=∠α，∠CBF=∠β∠ABC=∠α，∠CBF=∠β∠ABC=∠α，∠CBF=∠β ∴∠DBF=∠DBA+∠α+∠β=90°,∠DAF=∠DBA+∠DAB∴∠DBF=∠DBA+∠α+∠β=90°,∠DAF=∠DBA+∠DAB∴∠DBF=∠DBA+∠α+∠β=90°,∠DAF=∠DBA+∠DAB ∵∠DAB=∠α+∠β∵∠DAB=∠α+∠β∵∠DAB=∠α+∠β ∴∠ACF+∠BCF=90°∴∠ACF+∠BCF=9
两角和与差的三角函数公式的证明
weixin_34255793的博客
07-17 880
利用单位圆方法证明sin（α+β）= …与cos（α+β）= …，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。1、sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：如图中所示，容易看出：sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB；sinβ=CD；cosβ=OD则：-----------...
三角函数和差公式的推导
小灰笔记
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关于三角函数、二项式定理等曾经在高中课本上纯粹是公式一堆的知识我一直没有掌握，没能够学到家。由于根本就谈不上理解，以至于遇到类似的问题的时候就有点心理上的害怕，考试的时候遇到只敢碰碰运气。 今天找出了简单的和差公式，看了半天脑子里也没有半天呢如何证明的思路。通过网络，发现这个证明其实还是建立在几何意义上的。简单的证明如下： 仔细看一下，可以知道，其实几个和差公式最基础、最根本的
三角函数和角与差角公式的图形解释
liinux-Talk is cheap,show me the code.
12-01 1万+
我们知道通过几何学方法，可以对三角函数中的“和角公式”和“余弦定律”进行证明。此次我们换一种非常好用的图形证明法，简直是一图胜千言，可以帮助我们顺利推导出正弦、余弦和正切的和角、差角公式，而且让你一辈子都忘不了! 让我们从正弦和余弦的和角公式开始吧! 我一直坚持：优美的图形胜过任何一个多余的文字！废话不说，先看下图： 矩形的长边： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsi...
和差角证明托勒密定理
qq_43404557的博客
10-13 1754
设∠AOB=2α,∠BOC=2β,∠AOD=2γ,∠DOC=2(180°-α-β-γ),设圆O半径R ∴AB=2Rsinα，BC=2Rsinβ，AD=2Rsinγ，DC=2Rsin（180°-α-β-γ） AC=2Rsin（α+β）,BD=2Rsin（α+γ） 易知DC=2Rsin（α+β+γ）=2R[sin（α+β）cosγ+cos（α+β）sinγ] ∴DC·AB=4R²[sin（α+β）co...
和差化积公式的推导和三角函数的学习方法.pdf
12-26
和差化积公式可以由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。 和差化积公式有四个公式： sin θ + sin φ = 2sin[(θ + φ)/2]cos[(θ - φ)/2] sin θ - sin...
全国通用版2018_2019高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积练习新人教B版必修4
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在本节中，我们关注的是三角函数的积化和差与和差化积，这是三角学的基础知识，对于理解和解决三角问题至关重要。 1. **积化和差**：积化和差公式是将两个三角函数的乘积转换为和差形式的恒等式。例如，公式sinα...
三角函数公式推导和应用大全.doc
10-12
- **和差化积**，**积化和差**：这些公式允许将两个三角函数的乘积转换为和差形式，反之亦然。 - **倍角公式**：如sin(2θ) = 2sinθcosθ，cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，简化了处理两倍角的问题。 - **半角...
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用代数法（平面向量）证明了对于任意角的三角函数和差角公式
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