最大公约数 gcd，最小公倍数 lcm

最新推荐文章于 2025-09-13 16:37:10 发布

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本文介绍了如何计算两个整数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。GCD可通过欧几里得算法实现，而LCM可以通过GCD来计算。示例代码展示了C++如何利用内置函数和自定义函数来求解GCD和LCM。此外，还讨论了算术基本定理在求解LCM中的应用，以避免溢出问题。

1.GCD --最大公约数

GCD是表示整数 a 和 b 的最大公因数 是指能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)。例如：gcd(4, 8) = 4。
具体的实现有：
1. 直接使用c++头文件algorithm中的__gcd(a,b)，如果参加比赛（acm,蓝桥杯）较为方便
```
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main() 
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;    # a=8，b=12 时
	cout <<	__gcd(a, b) ;   //结果：4
	return 0;
}
```

欧几里得算法（辗转相除法-中国的说法）

int gcd(int a, int b){  // 一般要求a>=0, b>0。
						//若a=b=0，代码也正确，返回0
	cout << a << ", "  <<b << endl;
	return b? gcd(b, a%b) : a;
}

2.LCM -最小公倍数

lcm(a,b）表示a和b的最小公倍数，可以从算术基本定理推理得到。
算术基本定理（唯一分解定理）：任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积
可以由算法基本定理推出：
lcm(a,b) = a∗b/gcd(a,b) = a/gcd(a,b)∗b
注：我们使用先做除法再做乘法，如果先做乘法可能会溢出

所以我们求lcm(a,b)的时候，直接使用gcd就可以算出

实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main() 
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;  // 测试： a=8, b= 12
	cout <<	a / __gcd(a, b) * b;  //结果： 24
	return 0;
}

或者使用:

int lcm(int a, int b){ 
	return a / gcd(a, b) * b;
}

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