第一章实验：求最大公约数的几种算法的比较

题目分析
运行最大公约数的常用算法，包括辗转相除法（其中函数嵌套调用和递归调用两种）、穷举法、更相减损法、Stein算法（其中函数非递归调用和递归调用两种），并进行程序的调式与测试，要求程序设计风格良好，并添加异常处理模块（如输入非法等）。
PS：为了方便进行多组测试，引入数组。应用time.h时间库函数，clock()记录时间。
算法构造
main函数流程图
1.辗转相除法
辗转相除法（又名欧几里德法）C语言中用于计算两个正整数a,b的最大公约数和最小公倍数，实质它依赖于下面的定理：
a b=0

gcd(a,b) =

gcd(b,a mod b) b!=0
根据这一定理可以采用函数嵌套调用和递归调用形式进行求两个数的最大公约数和最小公倍数,现分别叙述如下：
①函数嵌套调用
其算法过程为： 前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数
1、大数放a中、小数放b中；
2、求a/b的余数；
3、若temp=0则b为最大公约数；
4、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；
5、返回第二步；

divisor函数流程图

②函数递归调用
启示：采用递归调用法要注意递归终止条件的描述，只有找到递归变化的规律，才能有效地解决问题。
int gcd (int a,int b)
{ if(a%b0)
return b;
else
return gcd(b,a%b);
}
#include “stdio.h”
main()
{
int m,n,t1;
printf(“please input two integer number:”);
scanf("%d%d",&m,&n);
t1=gcd(m,n);
printf(“The highest common divisor is %d\n”,t1);/最大公约数/
printf(“The least common multiple is %d\n”,m*n/t1);/最小公倍数/
getch();
}
函数gcd流程图
2.穷举法（利用数学定义）
穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。
①定义1：对两个正整数a,b如果能在区间[a,0]或[b,0]内能找到一个整数temp能同时被a和b所整除，则temp即为最大公约数。
代码为：
int divisor (int a,int b) /自定义函数求两数的最大公约数/
{
int temp; /定义义整型变量/
temp=(a>b)?b:a; /采种条件运算表达式求出两个数中的最小值/
while(temp>0)
{
if (a%temp0&&b%temp==0) /只要找到一个数能同时被a,b所整除，则中止循环/
break;
temp–; /如不满足if条件则变量自减，直到能被a,b所整除/
}
return (temp); /返回满足条件的数到主调函数处/
}
#include “stdio.h”
main()
{
int m,n,t1;
printf(“please input two integer number:”);
scanf("%d%d",&m,&n);
t1=divisor(m,n);
printf(“The higest common divisor is %d\n”,t1);
getch();
}
启示：根据数学定义求任意两个正整数的最大公约数和最小公倍数，相对辗转相除法来说，易懂，容易被学习者接受，但也请读者注意强制退出循环过程的条件、变量的特点及控制语句的使用。

函数divisor流程图

3. 更相减损法
   更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
   翻译成现代语言如下：
   第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
   第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
   则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
   其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。
   int gcd(int m,int n)
   {
   int i=0,temp,x;
   while(m%20 && n%20) //判断m和n能被多少个2整除
   {
   m/=2;
   n/=2;
   i+=1;
   }
   if(m<n) //m保存大的值
   {
   temp=m;
   m=n;
   n=temp;
   }
   while(x)
   {
   x=m-n;
   m=(n>x)?n:x;
   n=(n<x)?n:x;
   if(n==(m-n))
   break;
   }
   if(i==0)
   return n;
   else
   return (int )pow(2,i)*n;
   }

gcd函数流程图
4.Stein算法
Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。来研究一下最大公约数的性质，发现有 gcd( kx,ky ) = kgcd( x,y ) 这么一个非常好的性质。试取 k=2，则有 gcd( 2x,2y ) = 2 * gcd( x,y )。很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况如何化小呢？
先来看看一奇一偶的情况： 设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = gcd( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=na，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 gcd( 2x,y ) <= gcd( x,y )。因为gcd( x,y )明显是2x和y的公约数，又有gcd( x,y ) <= gcd( 2x,y )，所以 gcd( 2x,y ) = gcd( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。
再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，不妨设x&g