数学中的集合，群，环，域

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原文链接：http://www.cnblogs.com/yushui/p/3343156.html

这部分内容属于抽象代数

集合是基本概念

群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做乘法，但是与数的乘法无必然联系）

环和域的要求更高



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4、数学基础：群、环、域与椭圆曲线

				
			

			

				

					ll5678的博客
				

				

					07-08
					
					40
					
				

			

		

		

			
				
本博客系统介绍了抽象代数中的核心概念——群、环、域的基本性质及其相互联系，并深入探讨了椭圆曲线的数学基础与群运算原理。内容涵盖循环群、环的结构、域的扩张、多项式环、不可约多项式、欧拉函数等数学工具，重点解析了椭圆曲线在密码学中的应用，包括点加法和点加倍的运算规则及其在椭圆曲线密码学（ECC）中的实际用途。通过理论与实例结合，为读者提供了坚实的数学基础和应用视角，适用于密码学研究、信息安全开发及相关领域的深入学习。

			
		

	



                

            
              



	

		

			

				
					
群环域

				
			

			

				

					u012136352的博客
				

				

					08-02
					
					4451
					
				

			

		

		

			
				
群 环 域 
群、环、域都属于集合，其中域是一种环。

一个集合R满足以下的4个条件就可以称为环： 
1  
首先集合R在加法上组成一个阿贝尔群，阿贝尔群的四个要求如下： 
    · a+b ∈∈\in R 
    · a+(b+c) = (a+b)+c 
    · ∃∃{\exists}O ∈∈\in R .      s.t.       a + O = a,   O + a = a 
...

			
		

	



              


  
              

                


	

		

			

				
					
初等数学O 集合论基础 第五节 群、环、域的概念

				
			

			

				

					一个不愿透露姓名的博客
				

				

					12-07
					
					1794
					
				

			

		

		

			
				
初等数学O 集合论基础 第五节 群、环、域的概念
在第四讲中，我们在一般集合上定义了运算，这一讲的目标是为这些运算建立运算法则，一些具有特定运算与运算法则的集合具有良好的性质，值得我们专门对它命名，并研究它的性质，这一讲的目标就是介绍三类这样的集合，但初等数学这个系列并不对它们进行更加深入的讨论，只是为了后续说到整数环、实数域这些概念时读者对群环域有个简单的印象。
定义0.18 群(Group)
假设GGG是一个非空集合，ppp是GGG上的一个二元运算，p:G×G→Gp:G \times G \to Gp:

			
		

	





	

		

			

				
					
集群环域

				
			

			

				

					Freopen的博客
				

				

					05-16
					
					1105
					
				

			

		

		

			
				
集：集合，详见高中必修一。
群：是一种满足有一种要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）的运算的集合。
环：在加/减/乘下封闭的数集是数环。
域：如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
PS：封闭性，又称闭包。数学里，给定一个非空集合S 和一个函数F : S X S -> S ，则称 F 为在 S 上之二元运算(binary operation)，或称 (S,F...

			
		

	



		

			
		



	

		

			

				
					
【笔记分享】集合的基数、群、环、域

					
最新发布

				
			

			

				

					qq_45418349的博客
				

				

					07-10
					
					1139
					
				

			

		

		

			
				
本文摘要： 集合基数部分介绍了基数概念及其在有限与无限集合中的应用，通过映射关系（单射、满射、双射）比较集合大小。重点分析了常见集合（N, Z, Q, R）的基数特性及证明方法，包括康托尔对角线法。还探讨了幂集基数和基数运算规则。 群、环、域部分分别定义了三类代数结构及其性质：群满足封闭性、结合律、单位元和逆元；环在群基础上增加乘法半群和分配律；域则要求非零元乘法可交换且存在逆元。最后比较了直积与直和的区别，强调直和在无限情况下仅允许有限个非单位元分量。全文系统性地介绍了抽象代数中集合基数和基本代数结构的核

			
		

	





	

		

			

				
					
集合、群、环、域、空间简介

				
			

			

				

					Junker_Liu的博客
				

				

					09-25
					
					5540
					
				

			

		

		

			
				
集合、群、环、域、空间简介
集合
  集合是指具有某种特定性质的具体的或者抽象的对象汇总而成的集体，构成集合的这些对象称为该集合的元素。
  代数系统是建立在集合上的一种运算系统。由一个非空集合，与其定义在集合上的运算所组成。群、环都是特殊的代数系统。
  引入二元运算性质和二元元素性质：

群
  群的定义：原群是一种基本的代数结构，只要满足运算的封闭性。而在原群上的二元运算法则满足不同的二元运算性质，可分为半群、幺半群、群、阿贝尔群。
  幺半群是一种特殊的半群，而群也是幺半群的一种，阿贝尔群是最特殊的

			
		

	





	

		

			

				
					
域，环

				
			

			

				

					weixin_30852451的博客
				

				

					06-05
					
					147
					
				

			

		

		

			
				
域
definition of fields
域（field）是一种代数结构（algebraic structure）。

... This may be summarized by saying: a field has two operations, the addition and the multiplication; it is an abelian group under additi...

			
		

	





	

		

			

				
					
群，环，域

				
			

			

				

					
				

				

					03-03
					
					7457
					
				

			

		

		

			
				
一. 群的定义：

1）封闭性。2）结合律。3）有幺元。4）有逆元。5）交换律。

满足1），2）的是半群。

满足1），2），3）的是幺半群。

满足1），2），3），4）的是群。

满足1），2），3），4）的是Abel群或交互群 （即加群）。

二. 环的定义：

非空集合R 有两个二元运算，加法及乘法。

1）对加法成Abel群。2）对乘法成半群。3）分配律。4）乘法交换律

称为交换环...

			
		

	





	

		

			

				
					
密码学数学基础——群、环、域

				
			

			

				

					Quin_Yim的博客
				

				

					12-04
					
					3108
					
				

			

		

		

			
				
在密码学中，很多密码学知识都涉及大不少数学知识，其中群、环、域这三种集合经常会被许多概念提及，在此做以总结。
一、基础概念

幺元 ，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何元素本身，则称这个元素是这个集合对于该二元运算+的幺元，记为e。以加法为例，0就是在整数集合中加法的幺元；
零元 ，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，

			
		

	





	

		

			

				
					
解释数学中群、环以及域

				
			

			

				

					06-10
				

			

		

		

			
				
在数学中，群、环和域是三种基本的代数结构，它们都与数学中的运算有关。  1. 群：群是一个非空集合 G，配合一个二元运算“·”（通常称为群乘法），满足以下四个条件：   （1）封闭性：对于任意 a、b∈G，a·b∈G。...

			
		

	





	

		

			

				
					
群、环、域——概念梳理

				
			

			

				

					weixin_41969935的博客
				

				

					07-28
					
					1615
					
				

			

		

		

			
				
复习群、环和域的基本概念

			
		

	





	

		

			

				
					
群、环、域——群

				
			

			

				

					君子藏器于身，待时而动
				

				

					03-27
					
					1296
					
				

			

		

		

			
				
群环域是抽象代数的基础代数结构，本讲简述群的相关概念与性质。

			
		

	





	

		

			

				
					
环和域

				
			

			

				

					weixin_30606669的博客
				

				

					06-13
					
					1779
					
				

			

		

		

			
				
环和域

        
	
        
            

    在看书时发现自己搞不清环和域的区别,特此记录一下.
各种定义可参考wiki.
下面的加减乘除都是抽象意义下的定义(下文来自wiki).
在抽象代数中，域（Field，或译为体）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以...

			
		

	





	

		

			

				
					
近世代数（群、环、域）

				
			

			

				

					刘十三t的博客
				

				

					09-24
					
					2683
					
				

			

		

		

			
				
近世代数简而言之就是群、环、域的故事，不同的约束条件早就不同的精彩世界。

			
		

	





	

		

			

				
					
环和域的概念

				
			

			

				

					salmonwilliam的博客
				

				

					04-10
					
					2万+
					
				

			

		

		

			
				
定义（环）设R为某种元素组成的一个非空集合，若在R内定义两种运算（通常表示为加法运算“+”和乘法运算“·”），R中所有元素满足以下条件：
（1）R关于加法运算“+”构成一个Abel群；
（2）R关于乘法运算”·”构成一个半群；
（3），有a·（b+c）=a·b+a·c, (b+c)·a=b·a+c·a，即分配律成立。
则称R关于“+”和“·”形成一个环（Ring），记作（R，+，·），通常在不会产...

			
		

	





	

		

			

				
					
数论基础——群环域

				
			

			

				

					qq_44925830的博客
				

				

					03-06
					
					1万+
					
				

			

		

		

			
				
文章目录一、群环域基本概念1.群2.环常见环3.域与椭圆曲线椭圆FpF_pFp​Point additionAlgebraic sum椭圆曲线群的阶数Scalar multiplication and cyclic subgroupsSubgroup order子群的阶Finding a base pointDomain parametersECC(Elliptic Curve Cryptography)Encryption with ECDHSigning with ECDSA
一、群环域基本概念
1.群

			
		

	





	

		

			

				
					
群、环、域基本定义

					
热门推荐

				
			

			

				

					csdnTia的博客
				

				

					04-07
					
					2万+
					
				

			

		

		

			
				
群、环、域基本定义
群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群，『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。 其实环和域上所谓的乘法不一定就是通常说的乘法，例子相信你的书上应该有，...

			
		

	





	

		

			

				
					
密码学基础：群、环、域概念总结

				
			

			

				

					CNFINITE的博客
				

				

					08-02
					
					9985
					
				

			

		

		

			
				
群
	


    简而言之，群的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。具体理解为：

封闭性：在集合上作任意二元运算，不会诞生新的运算，这个集合已经经过充分的完美拓扑。

结合性：组合一个二元操作链，之间没有先后运算的区别，这种操作是平坦的（区别交换律）。

单位元：具有单位的属性，单位元和任何一个元素操作等于那个元素本身。

反元素：集合中任何一个元素，存在一个称为反元素的元素与那个元素进行操作后，最后的结果为单位元。

...

			
		

	





	

		

			

				
					
群、环、域知识点整理（持续补充ing）

				
			

			

				

					Famidlistimo的博客
				

				

					12-16
					
					1万+
					
				

			

		

		

			
				
目录前言一、群（Groups）1. 基本定义2. 子群3. 正规子群和商群4. 循环群二、环（Ring）1. 环的定义2. 域的定义3. 多项式环4. 整环中的因子分解5. 由整环构造域
前言
近世代数中群、环、域的定义都是基于集合的，通过对集合上运算的约束，将集合构造成具有不同特性的新对象。

集合：具有共同属性的事物的总体。


定义(集上的二元运算)：
设S为非空集合，那么S×S到S的映射称为S的结合法或运算。
{S×S→S(a,b)→ab \left\{
\begin{aligned}
S×S &a

			
		

	



              




          




        



    





    



      

      

        
      

      





	

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