群、环、域——群

群环域

群

原群 Magma

原群是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即满足封闭性（closure）。

一言以蔽之，原群是运算具有 封闭性 的集合。即，$G\times G\to G$.

半群 Semigroup

代数结构在原群的基础上，若满足结合律，我们称之为半群。即，$V=(G,R)$ , 若满足 $(aRb)Rc=aR(bRc),\forall a,b,c\in G$ , 则称 $V$ 是半群.

幺半群 Monoid

幺半群是在半群的基础上，还需要满足具有单位元。

单位元：若半群$V=(G,R)$满足$\forall a\in G,aRe=eRa=a$. 则称 $e$ 为 $G$ 在 $R$ 运算上的单位元。$V$ 此时为幺半群。

易知，$a$在加法的单位元为$0$，在乘法的单位元为$1$.

群 Group

若幺半群中每个元素都有逆元，我们称之为群。

逆元：若满足$\forall a\in G$, 一定存在另外一个元素 $b$ 使得 $aRb=e$. 我们称 $a$ 和 $b$ 互为在$R$ 运算上的逆元。一般将 $a$ 的逆元记作$a^{-1}$。

易知，$a$在加法的逆元为相反数$-a$，乘法的逆元为倒数$1/a$.

由此我们可以得出群的定义：

群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：

• 封闭性： $\forall a,b$ $\in$ $G$, $aRb\in G$ .

• 结合律：$\forall a,b,c$ $\in$ $G$, $(aRb)Rc=aR(bRc)$.

• 单位元：$\forall a\in G$, $aRe=eRa=a$.

• 逆 元：$\forall a\in G$, $aR{a}^{-1}=e$.

如，除0之外的有理数 在乘法下构成一个群。

阿贝尔群/交换群 Abelian Group

阿贝尔群(Abelian Group)在群的基础上，还需满足交换律(commutative)。如整数集合和加法运算，$(Z,+)$是一个阿贝尔群。

交换律：$\forall a,b\in G,aRb=bRa$

References

http://sparkandshine.net/en/algebraic-structure-primer-group-ring-field-vector-space/