《陶哲轩实分析》习题10.4.1

设$n$是正自然数，并设$g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$是函数$g(x):x^{\frac{1}{n}}$.

 

a):证明$g$在$(0,+\infty)$上连续.

 

证明:$\forall x_0\in (0,+\infty)$,$x_1\in (0,+\infty)$,$\frac{x_0^{\frac{1}{n}}}{x_1^{\frac{1}{n}}}=(\frac{x_0}{x_1})^{\frac{1}{n}}$.令$x_0=x_1+\varepsilon$.则
\begin{equation}
\label{eq:9.23.20}
(\frac{x_0}{x_1})^{\frac{1}{n}}=(1+\frac{\varepsilon}{x_1})^{\frac{1}{n}}
\end{equation}
下面证明$\lim_{\varepsilon\to 0}(1+\frac{\varepsilon}{x_1})^{\frac{1}{n}}=1$.即证$\lim_{\varepsilon\to 0}1+\frac{\varepsilon}{x_1}=1$(为什么?注意到$n$是常数)，而这是容易的.

b):证明$g$在$(0,+\infty)$上可微，且$\forall x\in (0,+\infty)$,$g'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$.

证明:让我们先看函数$g^{-1}(x):(0,+\infty)\to (0,+\infty)$.易得$g^{-1}(x)=x^n$.易得$(g^{-1}(x))'=nx^{n-1}$.易得$\forall x\in (0,+\infty)$,$(g^{-1}(x))'\neq 0$.而且由于$g$在$(0,+\infty)$上连续，因此由反函数定理，可得$g'(y_0)=\frac{1}{(g^{-1}(x_0))'}=\frac{1}{nx_0^{n-1}}$.其中$g^{-1}(x_0)=y_0$,即$x_0^n=y_0$.因此$g'(y_0)=\frac{1}{ny_0^{\frac{n-1}{n}}}=\frac{1}{n}y_0^{\frac{1}{n}-1}$.得证.

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