《Python 实战：从零到优化实现质数判断程序》

《Python 实战：从零到优化实现质数判断程序》

前言

质数是数学领域的重要概念，也在计算机科学中扮演着关键角色。无论是用于加密算法（如 RSA），还是在数据结构的哈希函数中，质数都具有极大的应用价值。而判断一个数字是否是质数，是一个经典且基础的编程任务。

这篇文章从最基础的质数定义出发，带你一步步实现质数判断的程序。我们会从简单实现开始，逐步优化，并结合实际案例，让你在掌握核心算法的同时，提升代码性能和逻辑思维能力。

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1. 什么是质数？

质数（Prime Number）是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的数。例如：2、3、5、7 和 11 都是质数。

关键性质：

1. 质数只有两个因数：1 和它本身。
2. 1 不是质数；2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数。
3. 一个合数（非质数）可以被分解为多个质因数。

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2. 基础实现：简单质数判断

我们可以通过遍历 2 到 n-1 的所有整数，检查 n 是否能被整除。如果有任何数可以整除 n，那么 n 不是质数。

def is_prime_basic(n):
    """
    简单实现：判断一个数字是否是质数
    """
    if n <= 1:
        return False  # 1 和小于 1 的数字不是质数
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 测试
print(is_prime_basic(7))  # True
print(is_prime_basic(10))  # False

输出：

True
False

分析：

• 时间复杂度：O(n)。随着 n 增大，效率迅速降低，适用于小范围数字判断。
• 优点：实现简单，便于初学者理解。

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3. 优化一：减少不必要的遍历

根据数学定理：若一个数 n 不是质数，则 n 至少有一个因数小于等于 $\sqrt{n}$