洛谷 P1137 旅行计划 (拓扑排序+dp)

本文介绍在有向无环图(DAG)中如何使用拓扑排序确定动态规划(dp)的计算顺序,通过边转移实现dp状态更新。提供两种实现方式:刷表法和记忆化搜索,代码示例清晰展示算法细节。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

在DAG中,拓扑排序可以确定dp的顺序

把图的信息转化到一个拓扑序上

注意转移的时候要用边转移

这道题的dp是用刷表法

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
struct Edge{ int to, next; };
Edge e[MAXN << 1];
int head[MAXN], d[MAXN];
int topo[MAXN], dp[MAXN]; 
int n, m, cnt, tot;

void AddEdge(int from, int to)
{
    e[tot] = Edge{to, head[from]};
    head[from] = tot++;
}

void read(int& x)
{
    int f = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    x *= f;
}

void toposort()
{
    queue<int> q;
    _for(i, 1, n)
        if(!d[i])
            q.push(i);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        topo[++cnt] = u;
        for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
        {
            int v = e[i].to;
            if(--d[v] == 0) q.push(v);
        }
    }
}

int main()
{
    memset(head, -1, sizeof(head)); tot = 0;
    read(n); read(m);
    
    _for(i, 1, m)
    {
        int u, v; 
        read(u); read(v);
        AddEdge(u, v);
        d[v]++;
    }
    
    toposort();
    _for(i, 1, n) dp[i] = 1;
    _for(i, 1, n)
    {
        int u = topo[i];
        for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
        {
            int v = e[i].to;
            dp[v] = max(dp[v], dp[u] + 1);
        }
    }
    _for(i, 1, n) printf("%d\n", dp[i]);
    
    return 0;
}

 还可以用记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
struct Edge{ int to, next; };
Edge e[MAXN << 1];
int head[MAXN], dp[MAXN];
int n, m, cnt, tot;

void AddEdge(int from, int to)
{
    e[tot] = Edge{to, head[from]};
    head[from] = tot++;
}

void read(int& x)
{
    int f = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    x *= f;
}

int dfs(int u)
{
    if(dp[u] != -1) return dp[u];
    dp[u] = 1;
    for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next)
    {
        int v = e[i].to;
        dp[u] = max(dp[u], dfs(v) + 1);
    }
    return dp[u];
}

int main()
{
    memset(head, -1, sizeof(head)); tot = 0;
    read(n); read(m);
    
    _for(i, 1, m)
    {
        int u, v; 
        read(u); read(v);
        AddEdge(v, u);
    }
    
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    _for(i, 1, n) printf("%d\n", dfs(i));
    
    return 0;
}

 

转载于:https://www.cnblogs.com/sugewud/p/9883766.html

### 使用纯拓扑排序解决洛谷 P1137 问题 对于洛谷 P1137 这类涉及顺序依赖关系的问题,可以通过构建有向无环图 (DAG) 并应用拓扑排序来解决问题。具体来说,在给定的 n + m 个点的图中运行拓扑排序,并在此基础上计算最长路径[^1]。 #### 构建图结构 为了适应题目需求,需先建立一个表示各节点间约束条件的图模型。假设存在若干组数据描述了某些特定位置之间的相对高度差异,则可以根据这些信息在图中相应两点之间创建指向更高处方向上的边连接: ```cpp for(int i=0;i<m;++i){ int u,v; cin>>u>>v; G[u].push_back(v); // 建立从较低编号到较高编号的单向边 } ``` #### 实现拓扑排序过程 通过入度数组记录每个顶点当前拥有的前置任务数量;随后利用队列辅助完成广度优先遍历操作——每当处理完某一层级的所有元素之后就将其后续可能影响到的目标加入待访问列表直至全部结点均被有序排列完毕为止: ```cpp queue<int> q; vector<int> topo_order; // 初始化入度表并找到起点集合 indeg.resize(n+1); for(auto& adj : G) for(auto v : adj.second) ++indeg[v]; for(int i=1;i<=n;++i) if(!indeg[i]) q.push(i); while (!q.empty()) { auto cur = q.front(); q.pop(); topo_order.emplace_back(cur); for (auto next : G[cur]) if (--indeg[next]==0) q.push(next); } if(topo_order.size()!=n)// 存在环无法完全展开成线性序列 { cout << "Error: Cycle detected"; return -1; } ``` #### 计算最长路径长度 一旦获得了合法有效的拓扑序列表达形式后就可以进一步探讨如何高效求得最大上升子序列之和的问题了。这里推荐采用动态规划的思想来进行优化设计:设 `dp[x]` 表示以第 x 号位结尾所能达到的最大累积增量值;那么当考察至新成员 y 时只需从前驱项 dp[y'] 中挑选出最优解加以继承更新即可形成新的状态转移方程表达式如下所示: \[ \text{dp}[y]=\max (\text {dp}[\mathrm{x}], \text {height}[\mathrm{y}] ) , \forall x<y, h(x)<h(y)\] 最终答案即为所有 dp[] 数组中的最大者所对应的数值大小。 ```cpp vector<long long> heights(n+1), dp(n+1); for(size_t idx=0;idx<n;++idx){ const auto &cur=topo_order[idx]; dp[cur]=heights[cur]; for(const auto &next:G[cur]){ dp[next]=std::max(dp[next],dp[cur]+heights[next]); } } cout<<*max_element(begin(dp)+1,end(dp))<<"\n"; ```
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