基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization, MultiGNMF）是一种结合了非负矩阵分解（NMF）和图论的多视图学习框架。

这种方法特别适用于处理包含多个不同视图或特征表示的数据集，旨在从这些视图中提取共享的潜在特征，同时保留各视图中的局部结构信息。

MultiGNMF的目标函数

MultiGNMF的目标是找到一个共同的特征表示，这个表示能够同时重构所有视图，并且保持每个视图的局部结构不变。

为此，MultiGNMF构建了一个基于图的模型，其中每个节点代表一个样本，边的权重反映了样本之间的相似度。目标函数可以表示为：

基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵

其中，

  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_02 是第 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_03 视图的输入数据矩阵。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习_04 是第 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_03 视图的基矩阵。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_06 是所有视图共享的混和矩阵，用于表示跨视图的共同特征。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_07 表示 Frobenius 范数，用于度量矩阵之间的差异。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_08 是第 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_03 视图的拉普拉斯矩阵，用于编码局部结构信息。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_10 表示矩阵的迹，即主对角线元素之和。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习_11 和 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_12 是超参数，分别用于平衡重构误差和局部结构保持的重要性。
公式解释
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_02 ：表示第 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_03 视图的非负数据矩阵，维度通常是 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_15 ，其中 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_16 是样本数量， 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_17 是第 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_03 视图的特征数量。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习_04 ：基矩阵，维度为 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_20 ，其中 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_21 是潜在因子的数量，用于表示每个视图的局部结构。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_06 ：混和矩阵，维度为 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_23 ，其中 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_24 是所有视图特征的总和，但实际上 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_06 的列数对应于所有视图共享的潜在因子数量。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_08 ：拉普拉斯矩阵，用于量化每个视图中样本之间的距离或相似度，它是由邻接矩阵 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_27 和度矩阵 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_28 构造的，即 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_29 ，其中 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_27 的元素 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_31 反映了样本 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_32 和 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_33 之间的相似度或关联强度，而 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_28 是一个对角矩阵，其对角线元素是 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_27
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习_11 ：是第 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_矩阵_03 视图的权重，用于控制重构误差的贡献。
  • 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_12 ：是一个全局超参数，用于调整局部结构保持与重构误差之间的平衡。
MultiGNMF的关键点

MultiGNMF的关键在于它不仅关注数据的重构，还强调了保留数据的局部结构。

通过使用拉普拉斯矩阵 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_学习方法_39 ，MultiGNMF 能够确保学习到的特征表示 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_40 在每个视图中都能保持相邻样本之间的相似性。

这使得 MultiGNMF 特别适合于处理具有内在局部结构的数据集，例如图像、社交网络和生物信息学数据。

MultiGNMF的求解

MultiGNMF的求解通常通过迭代优化算法完成，如梯度下降、交替最小二乘法（ALS）或其他适当的优化策略。

在每一轮迭代中，算法会交替地更新 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_数据_41 和 基于非负矩阵分解的多视图学习——基于局部结构约束的多视图特征学习方法（Multi-view Graph-based Non-negative Matrix Factorization)_相似度_40

MultiGNMF的应用

MultiGNMF在多个领域中都有应用，包括但不限于图像分析、文本挖掘、生物信息学和社会网络分析，特别是当数据集包含多个相关但又不同的视图时。

通过同时考虑多视图数据和局部结构信息，MultiGNMF能够提供更丰富和更全面的数据表示，有助于提高模型的准确性和泛化能力。