NMF(非负矩阵分解)

这段内容主要介绍了非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）的基本原理、目标和优化问题的形式，以下是详细解释：

非负矩阵分解（NMF）的定义和目标

• 定义：NMF是一种矩阵分解方法，专门用于处理非负数据。给定一个非负矩阵 $Y$（即矩阵中的所有元素 $Y_{ij}$ 都是非负的），NMF的目标是将 $Y$ 近似分解为两个非负矩阵 $W$ 和 $H$ 的乘积，即 $Y\approx WH$。
• 近似分解公式：对于矩阵 $Y$ 中的每个元素 $Y_{ij}$，可以通过 $W$ 和 $H$ 的对应元素的线性组合来近似表示，具体公式为 $Y_{ij}\approx (WH{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^r{W}_{ik}{H}_{kj}$。其中，$r$ 是隐含维度（latent dimension），它决定了分解的复杂度和精度。

矩阵 $W$ 和 $H$ 的含义

• 矩阵 $W$：矩阵 $W$ 的 $r$ 列被称为基因子（basis factor），它表示原始数据中的基本组成成分。可以理解为，原始矩阵 $Y$ 中的每一列都可以表示为 $W$ 中各列的线性组合。
• 矩阵 $H$：矩阵 $H$ 的行被称为系数因子（coefficient factor），它表示原始数据中每个实例在基因子上的权重。换句话说，$H$ 决定了每个实例如何由 $W$ 中的基因子组合而成。
• 基矩阵和系数矩阵：因此，$W$ 被称为基矩阵（basis matrix），$H$ 被称为系数矩阵（coefficient matrix）。

NMF的优化问题

• 目标函数：在传统的NMF方法中，通过最小化 $Y$ 和 $WH$ 之间的距离来求解 $W$ 和 $H$。具体的目标函数为：

$$\underset{W,H}{\min }f(W,H)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(Y_{ij}-(WH{)}_{ij}{)}^2$$

这个目标函数表示的是 $Y$ 和 $WH$ 之间的平方误差之和。

• 约束条件：由于NMF要求分解后的矩阵 $W$ 和 $H$ 都是非负的，因此有约束条件 $W_{ip}\ge 0$ 和 $H_{qj}\ge 0$，对所有的 $i,p,q,j$ 都成立。这使得NMF成为一个有界约束优化问题（bounded constrained optimization problem）。
• Frobenius范数表示：目标函数的右侧可以形式化地表示为 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(Y_{ij}-(WH{)}_{ij}{)}^2=\Vert WH-Y{\Vert }_F^2$，其中 $\Vert \cdot {\Vert }_F$ 表示Frobenius范数。Frobenius范数是矩阵元素的平方和的平方根，用于衡量两个矩阵之间的差异。

总结

这段内容详细介绍了NMF的基本概念、矩阵分解的公式、基矩阵和系数矩阵的含义，以及通过最小化平方误差来求解 $W$ 和 $H$ 的优化问题。NMF通过将原始数据分解为基矩阵和系数矩阵，能够以一种部分基于的方式（part-based representation）来表示非负数据，广泛应用于图像处理、文本挖掘、推荐系统等领域。