Codeforces935E Fafa and Ancient Mathematics

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Noevon/p/8597566.html

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#数据结构与算法

本文介绍了一种使用树形动态规划方法解决特定形式的算术表达式求最大值的问题。针对一个由数字和不确定的加减运算组成的序列，通过构建一棵运算树并运用动态规划思想来寻找最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：一个类似(a?(b?c))的序列(l<1e4)，?代表+或者-，告诉序列中+的数量和-的数量min(+, -)<=100，问这个表达式的最大值是多少

题解：这个序列可以看成一颗树，叶子节点就是值，其他节点代表运算符，限制了+,-的数量，树形dp，dp1[i][j]代表i这个节点有j个数量少的符号(包括自己)的最大值，dp2代表最小值

当前节点为x,儿子节点包括本身有i个符号, 枚举左边的符号个数j，那么右边就是i-j或者是i-j-1

max = max-min;min = min-max;

max = max+max;min = min+min;

这里建树nlgn

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 10010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct node{
    int l, r, d, c;
    node(){l = r = d = -1;c = 0;}
}a[maxn];
int cnt = 0, dp1[maxn][110], dp2[maxn][110], flag, p, m;
char s[maxn];
int dfs(int ll,int rr){
    if(ll == rr){
        a[++cnt].d = s[ll]-'0';
        a[cnt].c = 0;
        dp1[cnt][0] = dp2[cnt][0] = a[cnt].d;
        return cnt;
    }
    int num = 0, mid;
    for(int i=ll;i<=rr;i++){
        if(s[i] == '(') num++;
        if(s[i] == ')') num--;
        if(num == 1&&s[i] == '?'){
            mid = i;
            break;
        }
    }
    int t = ++cnt;
    a[t].d = 10;
    a[t].l = dfs(ll+1, mid-1);
    a[t].r = dfs(mid+1, rr-1);
    a[t].c = a[a[t].l].c+a[a[t].r].c+1;
    int x = t, l = a[x].l, r = a[x].r;
    if(flag){
        for(int i=0;i<=a[x].c;i++)
            for(int j=0;j<=a[l].c&&j<=i;j++)
                if(i-j<=a[r].c){
                    dp1[x][i] = max(dp1[x][i], dp1[l][j]-dp2[r][i-j]);
                    dp2[x][i] = min(dp2[x][i], dp2[l][j]-dp1[r][i-j]);
                    if(i<=a[x].c-1){
                        dp1[x][i+1] = max(dp1[x][i+1], dp1[l][j]+dp1[r][i-j]);
                        dp2[x][i+1] = min(dp2[x][i+1], dp2[l][j]+dp2[r][i-j]);
                    }
                }
    }
    else{
        for(int i=0;i<=a[x].c;i++)
            for(int j=0;j<=a[l].c&&j<=i;j++)
                if(i-j<=a[r].c){
                    dp1[x][i] = max(dp1[x][i], dp1[l][j]+dp1[r][i-j]);
                    dp2[x][i] = min(dp2[x][i], dp2[l][j]+dp2[r][i-j]);
                    if(i<=a[x].c-1){
                        dp1[x][i+1] = max(dp1[x][i+1], dp1[l][j]-dp2[r][i-j]);
                        dp2[x][i+1] = min(dp2[x][i+1], dp2[l][j]-dp1[r][i-j]);
                    }
                }
    }
    return t;
}
int main(){
    scanf("%s", s);
    scanf("%d%d", &p, &m);
    int len = strlen(s);
    memset(dp2, INF, sizeof(dp2));
    memset(dp1, -INF, sizeof(dp1));
    flag = p<m?1:0;
    dfs(0, len-1);
    cout<<dp1[1][min(p, m)]<<endl;
    return 0;
}