另一种保证单次插入回文自动机复杂度的做法

最新推荐文章于 2025-07-13 20:03:16 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Yuhuger/p/10110432.html

本文探讨了回文自动机的插入操作优化，利用border性质简化寻找fa过程，实现单次插入O(log(n))，总均摊复杂度O(n)，空间O(n)。通过等差数列跳跃和hash存储转移边，提升效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于插入一个字符串，普通回文自动机复杂度是均摊的。
对于单次插入复杂度有证明的回文自动机插入，
设$\sum$为字符集大小，翁文涛的论文里提到了单次插入$O(\sum)$的记忆化，从理论上来说，可以通过主席树优化到$O(log\sum)$，但是代码量就增加了，而且对于26的字符集，这样写应该会变慢吧。
翻金策字符串算法选讲的时候，偶然发现了一个浅显的结论，回文串的border等价于它的后缀回文串。
那么这就好办了，直接利用border的性质，将暴力往上跳找fa改为一次跳一个等差数列找fa就好了。

int p=-1；
while (r-T[la].len-1<l||s[r-T[la].len-1]!=s[r]){
    if (p!=T[la].d){
        p=T[la].d;
        la=T[la].fa;
    }
    else la=T[T[la].df].fa;
}

其中$T[la].d$为他和他父亲$len$的差值，$T[la].df$为他所在$len$等差数列的祖先，由border的性质，这样单次插入最多跳$log(n)$次，同时不影响总的均摊复杂度。虽然单次插入复杂度不如论文中的算法，但是不需要维护过多其他信息，只需要维护十分有用的等差数列就可以了。
这样，如果回文自动机上的转移边用hash存储，就可以得到一个单次插入$O(log(n))$，插入字符串均摊复杂度$O(n)$，空间$O(n)$的做法。

转载于:https://www.cnblogs.com/Yuhuger/p/10110432.html