莫比乌兹反演, 欧拉函数等乱七八糟的数论公式推导题

前言

最近学了些数论函数，有了一些小小小小的套路经验
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数论函数变换总结
金策大佬
超详细 课件

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狄利克雷卷积

定义：$(f\times g)(n)={\sum }_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
方便表示出一些推导过程
随之而来的是数论的一大波函数
$e(n)=[n=1]$
$id(n)=n$
$1(n)=1$
$d(n)={\sum }_{d|n}1$ （约数个数）
$\sigma (n)={\sum }_{d|n}d$
$....$

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一些数论函数的常见性质

• ${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$ 也就是 $id=\varphi \times 1$
• ${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]$ 也就是 $e=\mu \times 1$
• $d(nm)={\sum }_{i|n}{\sum }_{j|m}[gcd(i,j)=1]$

单用这几个性质，就已经能解决不少问题了
同时分享一些小套路

Q1

[NOI2010]能量采集

分析过后会发现每个点$(i,j)$的权值为 $gcd(i,j)\ast 2-1$
那么关键就是求 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}gcd(i,j)$
求某个数的和，考虑第一个性质（每个数都可以被它的所有约数表示出来） $But$ $why??$
因为gcd太特殊，没什么规律，但gcd的约数是可以轻松枚举的
根据这一点化式子 (小套路)
${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{d|i,j}\varphi (d)$
变换枚举顺序（重要小套路）($n\le m$, 以下都是整除)
${\sum }_{d=1}^n{\sum }_{i=1}^{\frac{n}{d}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{d}}\varphi (d)$
这么多西格玛算的其实是一个值，所以再化简
${\sum }_{d=1}^n\varphi (d)\ast \frac{n}{d}\ast \frac{m}{d}$
现在是$O(n)$ 可过本题，但还可以再优化（分块）
关键点在整除，很多 $\frac{n}{d}$ 的值是相同的，这一小块的$\varphi (d)$ 乘的都是一个值，用一下前缀和即可，变成$O(\sqrt{n})$

其实本题还可用性质2优化(不做详细解说)
${\sum }_{d=1}^n{\sum }_{i=1}^{\frac{n}{d}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{d}}d\ast [gcd(i,j)=1]$

${\sum }_{d=1}^{n}d\ast ({\sum }_{i=1}^{\frac{n}{d}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{d}}{\sum }_{d_1|i,j}\mu (d_1))$

${\sum }_{d=1}^{n}d\ast {\sum }_{d_1=1}^{\frac{n}{d}}{\sum }_{i=1}^{\frac{n}{d{d}_1}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{d{d}_1}}\mu (d_1)$

${\sum }_{d=1}^{n}d\ast {\sum }_{d_1=1}^{\frac{n}{d}}\mu (d_1)\ast \frac{n}{d{d}_1}\ast \frac{m}{d{d}_1}$

${\sum }_{D=1}^n{\sum }_{d|D}d\ast \mu (\frac{D}{d})\ast \frac{n}{D}\ast \frac{m}{D}$

${\sum }_{D=1}^n\varphi (D)\ast \frac{n}{D}\ast \frac{m}{D}$

殊途同归

Problem B 与这题类似
问题B代码

LL solve(int n, int m, int k){
    n/=k; m/=k;
    if(n>m) swap(n,m);
    LL last=1, ans=0;
    for(int d=1; d<=n; d=last+1){
        last=min(n/(n/d), m/(m/d));//分块优化
        ans+=(su[last]-su[d-1])*(n/d)*(m/d);//前缀和 su = sum mu
    }
/*	For(d,1,min(n,m)){
        ans+=mu[d]*(n/d)*(m/d); //暴力版
    }*/
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    get_mu();
    while(n--){
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%lld\n",solve(b,d,k)-solve(a-1,d,k)-solve(b,c-1,k)+solve(a-1,c-1,k));
    }

    return 0;
}

Q2

SDOI2015 约数个数和
${\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^{M}d(ij)$
直接套用第三个性质
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)=1]$$
再套用第二个性质
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{d|x,y}\mu (d)$$
变换枚举顺序 (这里的i, j 是原来的x, y)
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{d|i,j}\mu (d)\frac{N}{i}\frac{M}{j}$$
再次变换
$$\sum _{d=1}^N\mu (d)\sum _{i=1}^{\frac{N}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{M}{d}}\frac{N}{id}\frac{M}{jd}$$
这里$id$就是原来的$i$
又一个小套路，相同变量放到一起
$$\sum _{d=1}^N\mu (d)\sum _{i=1}^{\frac{N}{d}}\frac{N}{id}\sum _{j=1}^{\frac{M}{d}}\frac{M}{jd}$$
设$g(x)={\sum }_{i=1}^x\frac{x}{i}$
则原式即 $$\sum _{d=1}^N\mu (d)g(\frac{N}{d})g(\frac{M}{d})$$
$O(n\sqrt{n})$预处理 $O(\sqrt{n})$求

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莫比乌兹反演

奇技淫巧 遇到不会化或不好整的函数用它强行搞成${\sum }_{d|n}...$ 的形式

$f=g\times 1$
$g=\mu \times f$

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YY的GCD
$f(x)=isPrime(x)$
设 $F(x)={\sum }_{d|n}\mu (x)\ast f(\frac{n}{d})$
则$f(x)={\sum }_{d|n}F(d)$
待求式为 $$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^{m}f(gcd(x,y))$$
即 $$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\sum _{d|x,y}F(d)$$
然后就是之前的两个小套路了
关键在于F(x)的求法，即x所有质因子的$\mu$ 值和，暴力求就行($O(nlog(n))$)，但可以线性求（我不会）
超大常数代码（现在都不知道哪里常数大了）

For(i,1,prime[0]){
	for(int x=1; x*prime[i]<N; x++){
		f[x*prime[i]]+=mu[x];
	}
}

For(i,1,N-1) F[i]=F[i-1]+f[i];

scanf("%lld%lld",&n,&m);
LL ans=0, last=1;
for(LL i=1; i<=min(n,m); i=last+1){
	last=min(n/(n/i), m/(m/i));
	ans+=(F[last]-F[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
printf("%lld\n",ans);

总结及拓展

• ${\sum }_i^n\sigma (i)={\sum }_i^{n}i\ast \frac{n}{i}$

• ${\sum }_i^n\sigma (gcd(i,x))={\sum }_i^n{\sum }_{d|i,n}d={\sum }_{d|n}d\frac{n}{d}=nd(n)$

• ${\sum }_i^{n}i[gcd(i,n)=1]={\sum }_i^{n}i{\sum }_{d|i,n}\mu (d)={\sum }_{d|n}\mu (d){\sum }_{d|i}^{n}i={\sum }_{d|n}\mu (d)\frac{n(\frac{n}{d}+1)}{2}=\frac{n}{2}(\varphi +e)$

• ${\sum }_i^{n}lcm(i,n)=n{\sum }_i^n\frac{i}{gcd(i,n)}=n{\sum }_{d|n}\frac{{\sum }_i^{n}i[gcd(i,n)=d]}{d}=n{\sum }_{d|n}{\sum }_j^{\frac{n}{d}}je(gcd(j,\frac{n}{d})$

• ${\sum }_i^n{\sum }_j^{m}ije(gcd(i,j))={\sum }_i^n{\sum }_j^{m}ij{\sum }_{d|i,j}\mu (d)={\sum }_d\mu (d){\sum }_{i=1}^{\frac{n}{d}}{\sum }_{j=1}^{\frac{m}{d}}ij$

• 相同部分放到一起

• 变换枚举顺序（先枚举约数）