洛谷4719 【模板】动态dp

最新推荐文章于 2025-01-14 20:22:51 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/Narh/p/10003525.html

本文深入探讨了动态DP的概念与实现，通过树剖线段树维护区间内矩阵的连乘积，解决复杂状态转移问题。文章详细解释了如何通过修改g矩阵更新状态，以及求解最优解的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4719

关于动态DP似乎有猫锟的WC2018论文，但找不见；还是算了。

http://immortalco.blog.uoj.ac/archive

动态DP大概就是求这样的问题。

把轻儿子对自己的转移值写进矩阵 g 里，重新定义一下乘法运算，自己的值矩阵 f 就是重儿子的 f 乘上自己的 g 了。

树剖的线段树维护区间内的那些 g 的连乘积，则从自己开始到自己所在重链的底端这一段的 g 连乘就是自己的 f 了（因为底端是叶子，所以本来该乘一个 f ，就和不乘一样了）。

修改的时候就是改一些 g 。自己如果在 x 的轻儿子里，则需要改一下 x 的 g 。一次会改 log 个 g 。

求答案就是 1 所在重链的连乘积。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ls Ls[cr]
#define rs Rs[cr]
using namespace std;
const int N=1e5+5,INF=1e9+5;
int n,m,w[N],hd[N],xnt,to[N<<1],nxt[N<<1],tot,Ls[N<<1],Rs[N<<1];
int dfn[N],siz[N],son[N],rnk[N],dep[N],fa[N],top[N],bj[N],dp[N][2];
int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;}
struct Matrix{
  int a[2][2];
  Matrix(){a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=-INF;}
  Matrix operator+ (const Matrix &b)const
  {
    Matrix c;
    for(int i=0;i<=1;i++)
      for(int k=0;k<=1;k++)
    for(int j=0;j<=1;j++)
      c.a[i][j]=Mx(c.a[i][j],a[i][k]+b.a[k][j]);
    return c;
  }
}g[N],t[N<<1];
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;}
void dfs(int cr)
{
  dep[cr]=dep[fa[cr]]+1; siz[cr]=1;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa[cr])
      {
    fa[v]=cr;  dfs(v);
    siz[cr]+=siz[v];
    siz[v]>siz[son[cr]]?son[cr]=v:0;
      }
}
void dfsx(int cr)
{
  dfn[cr]=++tot; rnk[tot]=cr;
  dp[cr][0]=0; dp[cr][1]=w[cr];
  if(son[cr])
    {
      top[son[cr]]=top[cr];dfsx(son[cr]);
      dp[cr][0]+=Mx(dp[son[cr]][0],dp[son[cr]][1]);
      dp[cr][1]+=dp[son[cr]][0];
    }
  g[cr].a[0][0]=g[cr].a[0][1]=0;
  g[cr].a[1][0]=w[cr]; g[cr].a[1][1]=-INF;
  if(!son[cr]){ bj[top[cr]]=tot; return;}
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa[cr]&&v!=son[cr])
      {
    top[v]=v; dfsx(v);
    dp[cr][0]+=Mx(dp[v][0],dp[v][1]); dp[cr][1]+=dp[v][0];
    g[cr].a[0][0]+=Mx(dp[v][0],dp[v][1]); g[cr].a[0][1]=g[cr].a[0][0];
    g[cr].a[1][0]+=dp[v][0];
      }
}
void build(int l,int r,int cr)
{
  if(l==r){t[cr]=g[rnk[l]];return;}
  int mid=l+r>>1;
  ls=++tot; build(l,mid,ls);
  rs=++tot; build(mid+1,r,rs);
  t[cr]=t[ls]+t[rs];
}
void updt(int l,int r,int cr,int p)
{
  if(l==r){t[cr]=g[rnk[l]];return;}
  int mid=l+r>>1;
  if(p<=mid)updt(l,mid,ls,p);
  else updt(mid+1,r,rs,p);
  t[cr]=t[ls]+t[rs];
}
Matrix query(int l,int r,int cr,int L,int R)
{
  if(l>=L&&r<=R)return t[cr];
  int mid=l+r>>1;
  if(R<=mid)return query(l,mid,ls,L,R);
  if(mid<L) return query(mid+1,r,rs,L,R);
  return query(l,mid,ls,L,R)+query(mid+1,r,rs,L,R);
}
Matrix calc(int cr){ return query(1,n,1,dfn[cr],bj[cr]);}
void cz(int x,int y)
{
  g[x].a[1][0]+=y-w[x]; w[x]=y;
  Matrix k1=calc(top[x]); updt(1,n,1,dfn[x]); Matrix k2=calc(top[x]);
  while(fa[top[x]])
    {
      int d=fa[top[x]];
      g[d].a[0][0]+=Mx(k2.a[0][0],k2.a[1][0])-Mx(k1.a[0][0],k1.a[1][0]);
      g[d].a[0][1]=g[d].a[0][0];
      g[d].a[1][0]+=k2.a[0][0]-k1.a[0][0];
      x=d;
      k1=calc(top[x]); updt(1,n,1,dfn[x]); k2=calc(top[x]);
    }
}
int main()
{
  n=rdn();m=rdn();
  for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=rdn();
  for(int i=1,u,v;i<n;i++)
    {
      u=rdn(); v=rdn(); add(u,v); add(v,u);
    }
  dfs(1); top[1]=1; dfsx(1); tot=1; build(1,n,1);//tot=1!!!!!!
  for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
      x=rdn(); y=rdn(); cz(x,y);
      Matrix d=calc(1);
      printf("%d\n",Mx(d.a[0][0],d.a[1][0]));
    }
  return 0;
}