等比数列前N项和的公式推导

最新推荐文章于 2022-01-07 11:25:27 发布
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原文链接：http://www.cnblogs.com/sdlypyzq/archive/2013/02/21/2920533.html
本文详细推导了等比数列的前n项和公式,从基本定义出发,通过逐步演算得到最终的通用公式,适用于数学学习与教学.

设等比数列的前n项和为S(n), 等比数列的第一项为a1，比值为q。

（1）S(n) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ (n - 1);
（2）S(n+1) = a1 + a1 * q + a1 * q ^ 2 + .... + a1 * q ^ (n - 1) + a1 * q ^ n;
由（2）式减（1）式得
（3）S(n+1) - s(n) = a1 * q ^ n;
由S(n) * q 得
（4）S(n) * q = a1 * q + a1 * q ^ 2 + ... + a1 * q ^ n;

由（2）- （4）得
（5）S(n+1) - S(n) * q = a1;

由（3） - （5） 得
[S(n+1) - S(n)] - [S(n+1) - S(n) * q] = a1 * q ^ n - a1;
化简得：
S(n) * q - S(n) = a1 * (q ^ n - 1);
即：S(n) = a1 * (q ^ n - 1) / (q - 1);

 

转载于:https://www.cnblogs.com/sdlypyzq/archive/2013/02/21/2920533.html

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