极化码小结(2)

本文详细介绍了极化码的编码过程,包括生成矩阵的构造方法及其与信道合并示意图的关系,以及信息位选取的重要性和具体实现方法。此外,还探讨了提高极化码构造效率的方法。

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Chapter2 极化码的编码

  极化码的编码问题主要包括两个方面。

  首先是生成矩阵的构造:

生成矩阵GN:

  先来看信道合并示意图,下图截自Arikan论文(以后不再解释,Arikan论文 特指论文《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》):

  请读者留意这是fig.3,也即图三。根据这张图所表现的形式,我们可以归纳出GN的表达式:

疑问:这个表达式如何得到?它与上图有什么对应关系?

  我们来看等式右端第一部分:

  观察RN前面的表达式,符号“”是一种矩阵运算,称为“克罗内克积”,详细内容读者可自行查阅维基百科词条:克罗内克积-维基百科;“F”定义为矩阵,F的定义又有何意义呢?我们用一个二维向量来测试一下:,可见用输入向量左乘F矩阵,就能够实现图中第一步线性变换。当N>2时,由于F只有二维,为了完成运算,我们通过克罗内克积的办法在保持F矩阵属性的同时扩展它的维度,使得它满足我们的运算要求。所以RN前面的运算可以与上图中的线性变换对应起来。

  RN对应图中的自身,这个不需要再说。

  观察RN的右端,I2为二维的单位矩阵,GN/2则体现了递推、迭代的思想。用I2与GN进行克罗内克积,就是为了实现生成矩阵的递推和迭代。这部分对应了图中最右端的操作。因此我们可以看到,Arikan给出的生成矩阵的定义式确实与上图是完全对应的。

  接下来,Arikan又po出了另一张图:

  这是fig.8,它与fig.3的不同之处在于,fig.3中先进行线性变换再进行置换操作,而fig.8中先进行置换操作再进行线性变换。根绝Arikan的说法,这两个图是全等的。fig.8对应的公式为:,也就是说这两个公式是等价的:

  那么这一步是如何得到的呢?如何证明这两个图是全等的呢?这里有一份我以前证明时留下的手稿,具体的过程我没有精力再排版打出来,看客如果对这个证明有兴趣,不妨作为参考。不过这些细节就算不了解,也不妨碍我们对极化码理论的学习。就像数学教科书的上的许多定理公式,更多时候重点在于如何去理解和应用。

  让我们回到Arikan的论文中,继续看他是如何一步一步得到GN的构造方法的。

  上面这个公式第一行我们已经证明过了,从第一行到第二行的理论支持来自于克罗内克积的混合乘积性质:

  图片来自克罗内克积-维基百科

  我们继续往下看:

  这个就很好理解了,直接迭代代入GN/2然后利用混合乘积性质的逆定理就可以得到了。重复上述操作,不断进行迭代,最后我们可以得到这样一个式子:

  其中BN用来代替迭代所产生的式子:。BN可以写成递推公式:

  得到上面的公式之后,我们很容易就可以计算出BN并求出GN

  再来看信息位的选取:

信息位选取:

  通过上一节的介绍,我们了解到了信道的极化现象,并且认识到正是信道极化现象催生了极化码。现在,我们就要利用这个现象来构造极化码。根据我们所设想的,通过在误差率较低的信道(无噪信道)上传输有用信息,在误差较高的信道(纯噪信道)上传输信息量为0的信息,我们可以实现在有噪信道下进行无噪传输。

  因此,如何挑选要传输信息的信道成为了至关重要的事情。在表征信道质量的参数向量P中,我们称传输有用信息的位为信息位,传输无用信息的位为冻结位。问题变成了如何求出这个参数向量P。只要我们求得这个P,然后对它进行从小到大的排序,再根据码率确定要用到多少信息位,然后从排好序的P中挑选出性能最好的那部分,就可以实现我们的需求。

  Arikan的论文中这样说道:“对于一个给定的B-DMC信道W,本论文对信道的两个参数感兴趣:一个是信道的对称容量I(W):

  I(W)代表了等概率输入下,通过信道W进行可靠信息传输的最大速率。第二个称为巴氏参数Z(W):

  巴氏参数代表了在一次通过W传输0或1时,最大似然判决错误概率的上限。显然,Z(W)反映了信道的可靠度 。

  显然,我们可以分别将这两个参数作为参数向量P,对于I(W),我们选择较大的I(W)作为信息位;对于Z(W),我们选择较小的Z(W)作为信息位。

  早期Arikan提出,当W为BEC(二进制删除信道)时,有,计算二者中的任何一个都可以。Arikan论文中有Z(W)的递推计算公式:

  其中第二个式子的不等号在W为BEC取等,因此我们可以精确的计算巴氏参数,而且计算复杂度也较低,为O(NlogN)。

  后来,Arikan给出了当W不为BEC信道时的计算方法,他提出使用“Monte-Carlo算法”(蒙特卡罗法)来近似计算巴氏参数,然而,这个计算的复杂度因输出符号集的指数型爆炸增长而变得不可能。

  还有一种方法也用来进行巴氏参数的估计——Density Evolution(密度进化),但是这个方法缺点在于计算复杂度还是较高(为O(n)),同时精确度也不好。

  目前我们项目组所使用的信息位选择采用的是tal-vardy所提出的算法。这种算法是Tal和Vardy于2013年发表在IEEE上的一篇21页的论文中提出的,论文名为《how to construct polar code》,感兴趣的读者可以去了解一下。如果对英文阅读感觉到不舒服,读者也可以参考《极化码编码与译码算法研究》[王继伟]在2.2.3节中对这种算法的较为详细的中文介绍。

  这种算法主要通过信道弱化和信道强化操作,将的输出符号集进行合并,使其能够具有符合我们需要长度的输出符号集大小。另外,对于我们经常用到的AWGN信道,通过高斯近似(GA)方法可以在非常低的复杂度下在较高的精确度上选择信息位。这里列出两篇发表在IEEE上的参考论文,有兴趣的读者可以自行去了解,这里不再展开说了。

  【1】《Evaluation and Optimization of Gaussian Approximation for Polar Codes》.Jincheng Dai等.(2016.5)

  【2】《Construction and Block Error Rate Analysis of Polar Codes Over AWGN Channel Based on Gaussian Approximation》.Daolong Wu等.(2014.7)

   除此之外,还有一种办法可以提高极化码的构造效率。那就是使用“design-SNR”。

  不管我们采用什么构造办法,信息位的选取总是与SNR的取值密切相关。我们在仿真极化码性能的时候,往往会以SNR为仿真图的横坐标,以BER、FER为纵坐标,观察曲线走向,通过对比曲线判断优劣。但是每一次带入新的SNR值,都要重新构造一个新的参数向量P,然后重新挑选信息位,这种传统的构造方法我们称为“point-by-point(逐点SNR)”。这种重复性的工作无疑增加了极化码构造的时间复杂度。

  通过研究,我们发现,对于一个特定的码率,总存在一个完美的SNR,我们称之为“design-SNR(设计SNR)”,我们只需要代入这个SNR进行一次参数向量P的构造,然后将挑选好的信息位储存起来。以后在这个码率下,不论在哪个SNR值下进行仿真,我们只代入预存的这个信息位进行极化码的构造。由于信息位只构造了一次,时间复杂度得到了显著降低。

  根据仿真结果显示,在码长和码块较大的情况下,design-SNR与point-by-point法契合的非常好,如下图:

  得到了生成矩阵,又构造了信息位。接下来只需要进行简单的矩阵操作,再叠加上噪声,就可以实现极化码的编码。

转载于:https://www.cnblogs.com/Mr-Tiger/p/7501916.html

<think>首先,用户的问题是:“我想了解极化的构造方法及其用途请问极化构造方法用途解释”。这是一个关于极化的构造方法和用途的查询。我需要根据系统级指令来构建回答:-所有行内数学表达式使用$...$格式。-独立公式使用$$...$$格式并单独成段。-LaTeX语法正确。-使用中文回答。-生成相关问题。-回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,如[^1]。-回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题。-参考提供的站内引用,但用户的问题是基于这些引用,所以我需要整合这些信息。提供的引用摘要:-[^1]:极化小结(1),提到极化的编和译复杂度为$O(N\logN)$,基于Arikan的论文。-[^2]:极化理论及算法研究后续(代讲解),讨论代实现。-[^3]:极化的原理,解释信道极化:通过融合和分裂使信道分化为好信道和坏信道,用于编-[^4]:极化-基本原理,描述递归过程:$W_{N/2}$的两个副本产生$W_N$,实现任意长$N=2^n$的极化-[^5]:极化入门概述,以BEC信道为例,解释信道极化极化编译,包括错误概率的计算。用户的问题焦点是构造方法和用途,所以我需要从引用中提取相关信息。**极化的构造方法:**-从引用[^3]和[^4]:极化通过信道极化过程构造。核心是递归地将一组相同的二进制输入离散无记忆信道(B-DMC)通过合并和分裂操作,使得分裂后的信道分化为高可靠性的“好信道”和低可靠性的“坏信道”。-具体步骤:1.**信道合并:**从$N$个相同的信道开始($N=2^n$),通过一个线性变换(如Arikan矩阵)合并它们。2.**信道分裂:**合并后的信道被分裂成$N$个子信道,其中一些子信道(好信道)的信道容量接近1(无噪),另一些接近0(纯噪声)。3.**信息位和冻结位:**在编时,信息位放在好信道上传输数据,坏信道上放置冻结位(固定值,如0),用于辅助译-数学基础:递归公式在引用[^4]中提到:$W_N$由$W_{N/2}$的两个独立副本产生。这基于信道组合和分裂的递归过程。-构造涉及选择哪些位作为信息位,这通常通过计算信道可靠度(如巴氏参数)来实现。**极化的用途:**-极化是一种信道编方案,用于在噪声信道中可靠地传输信息。-主要用途:在通信系统中,如5G标准中用于控制信道,提供高可靠性和低复杂度。-优点:编和译复杂度低($O(N\logN)$),理论证明可以达到信道容量-应用场景:无线通信、卫星通信、任何需要高可靠性数据传输的系统。回答结构:1.**引言:**简要介绍极化2.**构造方法:**逐步解释信道极化过程、递归构造、信息位选择。3.**用途:**解释其在通信中的应用、优点。4.**生成相关问题:**在末尾添加相关问题。确保数学表达式正确:-行内:如$N=2^n$,$O(N\logN)$-独立公式:如递归公式,可以写成$$W_N=\text{combine}(W_{N/2},W_{N/2})$$或类似,但需要准确。从引用[^4],公式是$W_{N/2}$的两个副本产生$W_N$,所以或许$$W_N^{(i)}\text{basedon}W_{N/2}^{(j)}$$自然地添加引用:在解释关键点时,引用相关段落。最后,生成相关问题,如关于复杂度、优化、具体实现等。</think>### 极化的构造方法及其用途解释 极化Polar Codes)是由Erdal Arıkan于2009年提出的一种信道编技术,其核心思想是通过“信道极化”(Channel Polarization)过程,将一组相同的二进制输入离散无记忆信道(B-DMC)转化为可靠度两极分化的子信道。极化在5G通信标准中被采用,因其理论可达信道容量且编译复杂度低($O(N\log N)$)[^1]。下面我将逐步解释其构造方法和用途。 #### 1. **极化的构造方法** 极化的构造基于信道极化过程,通过递归合并与分裂操作,将 $N$ 个相同信道($N=2^n$)转化为高可靠性的“好信道”和低可靠性的“坏信道”。构造过程分为三步: - **步骤1: 信道合并(Combine)** 初始时,$N$ 个独立信道(如二进制擦除信道BEC)通过线性变换合并为一个复合信道。合并使用固定的变换矩阵,通常是Arikan矩阵(例如 $G_N = G_2^{\otimes n}$,其中 $G_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$)。数学上,这表示为: $$X^N = U^N \cdot G_N$$ 其中 $U^N = (U_1, U_2, \dots, U_N)$ 是输入向量,$X^N$ 是输出字向量。这一步骤将多个信道组合成一个整体信道 $W_N$[^4][^5]。 - **步骤2: 信道分裂(Split)** 合并后的信道 $W_N$ 被递归分裂成 $N$ 个子信道 $W_N^{(i)}$($i=1,2,\dots,N$)。分裂过程基于递推公式: $$W_N^{(2i-1)}(y_1^N, u_1^{2i-2} \mid u_{2i-1}) \quad \text{和} \quad W_N^{(2i)}(y_1^N, u_1^{2i-1} \mid u_{2i})$$ 其中 $y_1^N$ 是接收信号,$u_1^{j}$ 是部分输入序列。分裂后,子信道可靠度呈现极化:一部分子信道(约 $I(W)$ 比例)的信道容量接近1(“好信道”,几乎无噪),另一部分(约 $1-I(W)$ 比例)容量接近0(“坏信道”,纯噪声)[^3][^5]。这里 $I(W)$ 是原始信道的互信息。 - **步骤3: 信息位与冻结位选择** - **好信道** 用于传输信息位(携带数据)。 - **坏信道** 放置冻结位(Frozen Bits),固定为已知值(如0),不携带信息,仅辅助译。 信息位的选择基于信道可靠度计算(如巴氏参数 Bhattacharyya 参数)。例如,对于长 $N=8$,错误概率可能从原始 $p=0.5$ 极化到好信道的 $0.0039$ 和坏信道的 $0.9961$[^5]。构造完成后,编器只需将信息位映射到好信道上生成字。 整个构造的复杂度为 $O(N\log N)$,因递归过程类似快速傅里叶变换(FFT)[^1]。极化长必须为 $2^n$,以支持递归操作。 #### 2. **极化的用途** 极化主要用于噪声信道中的可靠数据传输,其核心价值在于理论可达香农极限(信道容量)。主要用途包括: - **高可靠性通信系统**:在无线通信(如5G控制信道)、卫星通信或深空通信中,极化通过利用好信道传输关键数据,显著降低误率(BER)。例如,在二进制擦除信道(BEC)中,信息位成功传输概率可达 $(1-p)^2$,优于独立信道[^5]。 - **低复杂度实现**:编译复杂度仅为 $O(N\log N)$,适合资源受限的设备(如物联网终端)。译采用逐次抵消(Successive Cancellation, SC)算法,逐步利用冻结位辅助解信息位[^1][^2]。 - **与其他编结合**:常与循环冗余校验(CRC)结合,提升纠错能力(如CRC-aided Polar Codes),用于5G增强型移动宽带(eMBB)场景[^2]。 极化的优势在于其数学简洁性和理论最优性,但实际应用中需优化以处理非理想信道(如衰落信道)。 #### 总结 极化通过信道极化递归构造,将信道分化为好/坏子信道,信息位仅置于好信道上;其用途聚焦于高效可靠的数据传输,尤其在5G时代成为关键技术。编译复杂度 $O(N\log N)$ 使其在大规模通信中实用[^1][^3]。
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