贪婪算法硬币找零最优解问题证明2

1. 问题

如果硬币的面值是{1, 1*c, 2*c, …, k*c}， 则贪婪算法总是用最少的硬币找零。

 

如《离散数学及其应用》书中贪婪算法的反例：

有面值1, 10, 25的硬币，找零30。

贪婪算法的解：5c₀ + 0c₁ + 1c₂ =  5*1 + 0*10 + 1*25 = 30，共需6枚硬币

而最优解是：0c₀ + 3c₁ + 0c₂ =  0*1 + 3*10 + 0*25 = 30，只需3枚硬币

但如果补齐中间缺失的硬币面值：{1, 5, 10, 15, 25},

那么贪婪算法的解是 ： 1*25 + 1*5 = 30，只需2枚硬币，依然是最优解之一（因为还有15*2也是最优解）

 

2. 规律

因为最大的25面值的硬币不再满足《贪婪算法最优解问题》问题中的条件，所以无法用该证明方法证明，思路不通时我们先找找满足问题条件的找零方案，看能不能找出一些规律，然后再证明这些规律找出一些推论来间接证明

假设有面值{1, 3, 6, 9}的硬币，当需找零S的最优贪婪算法找零方案：

1

3