算法设计方法(一) —— 贪心法

基本概念

在贪婪算法（greedy method）中采用逐步构建最优解的方法。在每个阶段，都做出看上去最优的决策（在一定标准下）。决策一旦做出，就不可再更改。做出贪婪决策的依据称为贪婪准则(greedy criterion)

著名问题

1） 最少硬币问题

一个小孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。假设提供了数目不限的面值为2   5美分、1   0美分、5美分、及1美分的硬币。售货员分步骤组成要找的零钱数，每次加入一个硬币。选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次选择应使零钱数尽量增大。为保证解法的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应使零钱总数超过最终所需的数目。  
   
  贪婪算法有种直觉的倾向，在找零钱时，直觉告诉我们应使找出的硬币数目最少（至少是接近最少的数目）。如何证明采用贪婪算法找零钱时所用的硬币数目的确最少？  

证明：设S为总金额，n为零钱数，则S=25a + 10b + 5c + d, n = a + b + c + d.

首先看一下只有5美分和一美分的情况：当S >5 时，S = 5c + d1 或 d2，显然，c + d1 < d2。

由此可得，当S=k1×c + k2 ×d1或 k2×d2，当k1是k2的整数倍时，c+d1的数目会少于d2.

当S>10时，S=10b+5c+d或5（2b+c）+d，因为上一步的结果，所以显然 n = b+c+d.

最后当S > 25时， S=25a +10b + 5c + d，同理可得，n = a + b + c + d是最少的零钱数。