I-数学题(欧拉函数)

最新推荐文章于 2022-07-23 10:41:13 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/wangtao971115/p/10358274.html

本文介绍了一个数学问题的解决方法，该问题要求计算小于等于n中所有与n不互质的数的和，并给出了一种利用欧拉函数和容斥原理的算法实现。代码使用C++编写，包括了求欧拉函数值和快速幂模运算的函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面描述
最近，华东交通大学ACM训练基地的老阿姨被一个数学问题困扰了很久，她希望你能够帮她解决这个问题。
这个数学问题是这样的，给你一个N,要求你计算

gcd(a,b)表示a和b的最大公约数

输入描述:

多组输入，每行一个整数n(1<=n<=10^14)。

输出描述:

每行一个整数，表示答案。由于答案会很大你要对1000000007取模。

示例1

输入

4
10

输出

6
35

说明

样例一，2+4=6。
样例二，2+4+5+6+8+10=35。

以下是官方题解:

该公式相当于求小于等于n中所有与n不互质的数的和
根据欧拉函数得知小于或等于n的数中，与n互质的数的总和为φ(n) * n / 2 (n>1)
答案就是
1. 0 (n=1)
2 n*(n+1)/2 - φ(n) * n / 2 (n>1)

也可以找出素因子进行容斥

AC:

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
#define fillchar(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define huan printf("\n")
#define debug(a,b) cout<<a<<" "<<b<<" "<<endl
#define ffread(a) fastIO::read(a)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int maxn=5e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
const ll mod=1000000007;

ll euler(ll n)  //返回euler(n)
{
    ll res=n,a=n;
    for(ll i=2; i*i<=a; i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(a%i==0)
                a/=i;
        }
    }
    if(a>1)
        res=res/a*(a-1);
    return res%mod;
}

ll pow_mod(ll n,ll m)
{
    ll ans = 1;
    while(m > 0)
    {
        if(m & 1)ans = (ans * n) % mod;
        m = m >> 1;
        n = (n * n) % mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        if(n==1)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll inv2=pow_mod(2,mod-2);
        ll temp=((n%mod)*((n+1)%mod)%mod)*inv2%mod;
        ll ans=temp-(euler(n)*(n%mod)%mod*inv2)%mod;
        printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/wangtao971115/p/10358274.html