申龙斌的程序人生

详解欧拉计划(project euler)的索引页，慢慢整理中……

欧拉计划第804题与一个二次多项式有关。

有一种Bell铃手用来生成所有铃铛响声顺序变化的方法。同样的方法也可以用来创建一组字母的所有排列。初始时，将字母从小到大排列。在每一步中，将最大的字母与其左边或右边的字母交换，以生成一个未出现过的排列。如果两种交换方式都没有生成出新排列，则尝试下一个最大的字母，依此类推。如果持续这个过程，可以生成所有的排列。

二维平面中有二百万个随机点，如果找到最近的两个点？

xn​=(1248nmod32323)−16161yn​=(8421nmod30103)−15051Pn​=(x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xn​,yn​)例如，P8​以Pn​中元素为顶点的三角形中，包含原点在内的三角形个数记为C(n)。

毕达哥拉斯树是按如下步骤生成的分形图形：从一个单位正方形开始，以其中一条边为基底（在图示中，单位正方形下放的边作为基底），给基底所对的边粘连上一个三边长之比为3-4-5的直角三角形，其中基底所对的边为斜边。注意直角三角形较短的直角边始终处在相对基底来说的右侧。给直角三角形的两条直角边分别粘连上一个正方形，该直角边充当正方形的其中一条边。对这两个正方形重复以上操作，并将正方形与之粘连的直角边作为基底。经过无数次迭代所最终得到的图形就是毕达哥拉斯树。

一只蚂蚁在涂有黑色或白色的普通方格上移动。从全白的网格开始，在蚂蚁移动10**18次之后，有多少个方格是黑色的？

本题难度系数为65%（最易5%，最难100%）。“追赶游戏”是一个需要偶数名玩家和两个骰子进行的游戏。所有玩家在桌子边坐成一圈；游戏开始时，选择两名相对而坐的玩家，每人拿一颗骰子。在每一轮，拥有骰子的两名玩家掷出骰子。如果玩家掷出点数1，他将骰子交给他左侧的那名玩家；如果他掷出点数6，他将骰子交给他右侧的那名玩家；除此之外的情况，他保留这颗骰子。当每一轮结束时，如果有一名玩家拿着两颗骰子，游戏结束，这名玩家输掉游戏。如果有100名玩家参与游戏，游戏进行的期望轮数是多少？

在一个大圆内放入三个等大的圆，这三个圆以及大圆两两相切，而且相互不重叠。这样一来，大圆内就有四块未覆盖的“空隙”，我们将迭代地在里面放入更多相切的圆以填补它们。每一轮迭代，我们都在每个空隙中放入尽可能大的圆，如此一来下一轮迭代时将会有更多的空隙。经过三轮迭代（如上图），大圆中一共有108个空隙，大圆内未被其它圆覆盖的面积与大圆面积之比0.06790342。经过10轮迭代后，未被覆盖的面积占大圆面积的比例是多少？答案用四舍五入后的八位小数表示，即x.xxxxxxxx的格式。

此题难度系数55%（5%最易，100%最难）。记D0​为包含两个字符的字符串“Fa”。对于n≥1，我们通过如下的字符串重写规则，由Dn−1​推出Dn​：因此，D0​= “Fa”，D1​D2​= “FaRbFRRLFaLbFR”，依此类推。这些字符串可以作为一个计算机绘图程序的指令加以解读，其中“F”表示“向前画一单位”，“L”表示“左转90度”，“R”表示“右转90度”，而“a”和“b”可以忽略。初始状态下，计算机光标的位置是(0,0)，方向指向(0,1)。

本题难度系数为50%（5%最易，100%最难）。“数字头脑”游戏是著名的游戏“大师头脑”的一个变种。在“数字头脑”中，你需要猜测一个数字序列，而不是“大师头脑”中的彩色方块。每次猜测之后，你会被告知你猜对了多少个位置上的数字。因此，如果正确的序列是1234，而你猜的是2036，那么你会被告知你猜对了一个位置上的数字。然而，并不会告诉你虽然数字正确但位置不正确的情况。例如，根据你对一个五位的数字序列作的如下猜测：90342；2个数字正确70794；0个数字正确39458；2个数字正确。

本题难度系数为50%，5%最易，100%最难。使得n2+1，n2+3，n2+7，n2+9，n2+13以及n2+27为连续素数的最小的n是10。在小于一百万的整数中，所有满足这一条件的整数n的总和为1242490。在小于一亿五千万的数中，所有满足这一条件的整数n的总和是多少？

只包含数字1的数被称为循环单位数（repunit），我们定义R(k)是长为k的循环单位数。例如，R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091，这些质因数的和是9414。找出R(109)的前40个质因数的和。

使用1至9的全部数字，并自由连接起来组成十进制整数，可以构造不同的集合。其中一个集合{2,5,47,89,631}非常有趣，因为它的所有元素都是素数。有些集合包含数字1至9恰好各一次，且所有元素都是素数，这样的集合有多少个？

在如下方程中，x、y、n均为正整数。对于n = 4，上述方程恰好有3个不同的解,使得不同的解的数目超过1000的最小n值是多少?

下面这个无向网络包含有7个顶点和12条边，其总重量为243。这个网络也可以用矩阵的形式表示如下。然而，我们其实可以优化这个网络，移除其中的一些边，同时仍然保证每个顶点之间都是连通的。节省重量最多的网络如下图所示，其总重量为93，相比原来的网络节省了243 - 93 = 150。在这个6K的文本文件中存放了一个包含有40个顶点的网络的连通矩阵。移除其中冗余的边，同时仍然保证每个顶点之间都是连通的，求最多能节省的重量。

将单词CARE中的四个字母依次赋值为1、2、9、6，我们得到了一个平方数：1296 = 362。神奇的是，使用同样的数字赋值，重排后的单词RACE同样构成了一个平方数：9216 = 962。我们称CARE和RACE为重排平方单词对，同时规定这样的单词对不允许有前导零或是不同的字母赋相同的值。在这个16K的文本文件中包含了将近两千个常见英文单词，找出所有的重排平方单词对（一个回文单词不视为它自己的重排）。重排平方单词对所给出的最大平方数是多少？注意：所有的重排单词必须出现在给定的文本文件中。

一个数除了本身之外的因数称为真因数(proper divisor)。例如，28的真因数是1、2、4、7和14。这些真因数的和恰好为28，因此我们称28是完全数(perfect number)。有趣的是，220的真因数之和是284，同时284的真因数之和是220，构成了一个长度为2的链，我们也称之为亲和数对(amicable pair)。有一些更长的序列并不太为人所知。例如，从12496出发，可以构成一个长度为5的链：由于这条链最后又回到了起点，我们称之为亲和数链(amicable chain)。

可以证明，不存在边长为整数的等边三角形其面积也是整数。但是，存在几乎等边的三角形 5-5-6，其面积恰好为12。我们定义几乎等边的三角形是有两条边一样长，且第三边与这两边最多相差1的三角形。对于所有边长和面积均为整数且周长不超过十亿(1,000,000,000)的三角形，求其中几乎等边的三角形的周长之和。

使用集合{1, 2, 3, 4}中每个数字恰好一次以及(+, −, *, /)四则运算和括号，可以得到不同的正整数。例如，注意不允许直接把数字连起来，如12 + 34。使用集合{1, 2, 3, 4}，可以得到31个不同的数，其中最大值是36，以及1到28之间所有的数。若使用包含有四个不同数字a < b < c < d的集合可以得到从1到n之间所有的数，求其中使得n最大的集合，并将你的答案写成字符串：abcd。

蜘蛛S位于一个6x5x3大小的长方体屋子的一角，而苍蝇F则恰好位于其对角。沿着屋子的表面，从S到F的最短“直线”距离是10，路径如下图所示：然而，对于任意长方体，“最短”路径实际上一共有三种可能；而且，最短路径的长度也并不一定为整数。当M=100时，若不考虑旋转，所有长、宽、高均不超过M且为整数的长方体中，对角的最短距离是整数的恰好有2060个；这是使得该数目超过2000的最小M值；当M=99时，该数目为1975。找出使得该数目超过一百万的最小M值。

对于正整数n，记σ2​(n)为其所有约数的平方和。例如，σ2​(10)=1+4+25+100=130在0 < n < 64,000,000中，有些n满足σ2​(n)为，求所有这些n的和。

如果一个数没有大于p的质因数，则称其为p-光滑数。令T表示三角形数数列，也就是说T(n)=n(n+1)/2T(n)=n(n+1)/2T(n)=n(n+1)/2。求出所有使得T(n)为47-光滑的下标的和。解：第一步，找出1000以内的光滑数先从简单的情况出发，根据题意，分解因子，找出1000以内的47-光滑数。from primePy import primessmooth = []for i in range(1, 1000+1): n = i * (i + 1) // 2

只能唯一地弯折成整数边直角三角形的电线最短长度是12厘米；当然，还有很多长度的电线都只能唯一地弯折成整数边直角三角形，例如：12厘米: (3,4,5)24厘米: (6,8,10)30厘米: (5,12,13)36厘米: (9,12,15)40厘米: (8,15,17)48厘米: (12,16,20)相反地，有些长度的电线，比如20厘米，不可能弯折成任何整数边直角三角形，而另一些长度则有多个解；例如，120厘米的电线可以弯折成三个不同的整数边直角三角形。

考虑形如n/d的分数，其中n和d均为正整数。如果n < d且其最大公约数为1，则该分数称为最简真分数。如果将d ≤ 8的最简真分数构成的集合按从小到大排列，可以得到：可以看出该集合中共有21个元素。问d ≤ 1,000,000的最简真分数构成的集合中共有多少个元素？

数a的正整数b次超幂或迭代幂次，记作a↑↑b，按照如下方式递归定义：a↑↑1 = aaa↑↑k举例来说，3↑↑2 =33= 27，因此3↑↑3 =327= 7625597484987，而3↑↑4约为10∗1012。求1777↑↑1855的最后8位数字。

对于正整数，若存在正整数a、b、c、d，使得ab=cd=N且a+b=c+d+1，则称N为隐匿数。例如，36=4×9=6×6是一个隐匿数。已知在不超过106的范围内有2851个隐匿数。在不超过1014的范围内，有多少个隐匿数？

考虑下面这个无限重复的数字序列：神奇的是，你可以将这个序列分解成一个整数的序列，使得第n个整数的各位数字之和恰好是n。这个整数序列如下所示：记vn​是这个整数序列的第n个整数，例如，v2​= 2，v5​= 32，以及v11​= 32123。记S(n)为v1​+v2​+…+vn​。例如，S(11) = 36120，以及S(1000) mod 123454321 = 18232686。求S(1014）。...

记y0​、y1​、y2​、……是一系列32位的无符号随机整数，也就是说，0 ≤yi​ 0，xi​=xi−1​∣yi−1​（| 是按位或运算符）可以看出，存在下标N，使得对于所有i ≥ N，xi​=232-1（所有比特位均为1）。求N的期望值。将你的答案保留小数点后十位小数。...

这道题的难度系数是15%，与四边形的格点个数有关。

此题有点难。12的约数是：1、2、3、4、6和12。12的所有约数中，不超过其平方根的最大约数是3。我们称n的所有约数中，不超过其平方根的最大约数为n的伪平方根，简称PSR。可以看出PSR(3102)=47。记p是所有小于190的素数的乘积。求PSR(p)mod1016。

欧拉计划第622题：完美洗牌有这样一种洗牌：将牌张平分为两份，左手拿上半部分牌张，右手拿下半部分牌张，然后，将右手的牌严格地交叉到左手的牌张中，也就是右手的第1张牌处于左手的第1张牌后面，右手的第2张牌处于左手的第2张牌后面，依次类推。......

欧拉计划第587题，难度不大，需要一点高中数学知识。