[51nod1201]整数划分

最新推荐文章于 2021-05-04 13:09:49 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/LanrTabe/p/10560932.html

博客围绕51nod1201题目展开，介绍了神仙DP算法。设\(f[i][j]\)表示\(i\)分成\(j\)个数的划分数，给出转移式\(f[i][j]=f[i - j][j - 1]+f[i - j][j]\)并解释原因。还分析了\(j\)的范围，得出其为根号级别，给出时间和空间复杂度均为\(O(n\sqrt n)\)。

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题目链接：

51nod1201

神仙DP

设\(f[i][j]\)表示\(i\)分成\(j\)个数的划分数，如何转移？

有转移式：\(f[i][j]=f[i-j][j-1]+f[i-j][j]\)

为什么呢？第一种是先加一个划分出来的数\(1\)，但是为了和之前的所有数不一样，之前的所有数\(+1\)。

第二种就是所有数\(+1\)，没有新划分出来的数。

但是直接转移是会爆空间的，我们知道需要这么多状态吗？

\(j\)个不同正整数拼成的最小数显然是\(\sum_{k=1}^j k\)

那么就有\(\frac{j(j+1)}2\le i\)

那么\(j\)就是根号级别的。

时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

空间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)

代码：

#include <cstdio>

int n,f[50005][355],s;
const int p=1000000007;

int main()
{
    scanf("%d",&n),f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;true;++j)
            if(j*(j+1)/2<=i)(f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-j][j-1])>=p?f[i][j]-=p:0;
            else break;
    for(int i=1;i*(i+1)/2<=n;++i)(s+=f[n][i])>=p?s-=p:0;
    return printf("%d\n",s),0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/LanrTabe/p/10560932.html