并查集

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#数据结构与算法 #php

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网址:http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/

1、概述

并查集（Disjoint set或者Union-find set）是一种树型的数据结构，常用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

2、基本操作

并查集是一种非常简单的数据结构，它主要涉及两个基本操作，分别为：

A．合并两个不相交集合

B．判断两个元素是否属于同一个集合

（1）合并两个不相交集合（Union(x,y)）

合并操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合，b图为合并后Father(b):=Father(g)

（2）判断两个元素是否属于同一集合（Find_Set(x)）

本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

3、优化

（1） Find_Set(x)时，路径压缩

寻找祖先时，我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况，我们需对路径进行压缩，即当我们经过”递推”找到祖先节点后，”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示。可见，路径压缩方便了以后的查找。

（2） Union(x,y)时，按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

4、编程实现

 
          int  
          father[MAX];    
          /* father[x]表示x的父节点*/ 
             
          int  
          rank[MAX];      
          /*rank[x]表示x的秩*/ 
         
          void  
          Make_Set( 
          int  
          x) 
             
          { 
             
          　　father[x] = x;  
          //根据实际情况指定的父节点可变化 
             
          　　rank[x] = 0;    
          //根据实际情况初始化秩也有所变化 
             
          }  
         
          /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/ 
         
          int  
          Find_Set( 
          int  
          x) 
             
          {  
         
          if  
          (x != father[x])  
         
          　　{ 
             
          　　　　father[x] = Find_Set(father[x]);  
          //这个回溯时的压缩路径是精华  
         
          　　} 
             
          　　return  
          father[x]; 
             
          }  
         
          /* 
             
          按秩合并x,y所在的集合 
             
          下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化 
             
          但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。 
             
          */ 
         
          void  
          Union( 
          int  
          x,  
          int  
          y) 
             
          { 
             
          　　x = Find_Set(x); 
             
          　　y = Find_Set(y);  
         
          if  
          (x == y)  
          return 
          ; 
             
          　　if  
          (rank[x] > rank[y]) 
             
          　　{ 
             
          　　　　father[y] = x; 
             
          　　} 
             
          　　else 
             
          　　{ 
             
          　　　　if  
          (rank[x] == rank[y]) 
             
          　　　　{ 
             
          　　　　　　rank[y]++; 
             
          　　　　} 
             
          　　　　father[x] = y; 
             
          　　} 
             
          }

5、复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。

6、应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

7、参考资料

（1）并查集：http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

（2）博文《并查集详解》：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/

（3） Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.

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更多关于数据结构和算法的介绍，请查看：数据结构与算法汇总

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