预处理共轭梯度法（1）

预处理共轭梯度法（1）

1.共轭梯度法的收敛性分析

定理：设A为n x n对称正定矩阵，其最大与最小特征值分别为${\lambda }_1$和${\lambda }_n$,$Ax=b$的精确解为$x^{\ast }$，则对任意初始$x^{(0)}$，求解$Ax=b$的共轭梯度法有
$${\Vert x^{(k)}-x^{\ast }\Vert }_A⩽2(\frac{\sqrt{cond(A)}-1}{\sqrt{cond(A)}+1}{)}^k{\Vert x^{(0)}-x^{\ast }\Vert }_A$$
其中$cond(A{)}_2=\frac{{\lambda }_1(A)}{{\lambda }_n(A)}$。