5、软计算中多分辨率预处理的小波技术应用

软计算中多分辨率预处理的小波技术应用

1. 探索性知识提取

在对数据集进行良好描述时，找到合适的模型可能需要投入大量的精力和时间。例如，在金融领域寻找良好的指标和指数，以及传感器建模都需要大量的基础研究工作。在从数据对复杂未知过程进行建模时，首先确定重要变量以及获得满意模型所需的非线性程度至关重要。下面介绍两种在早期数据探索中非常有用的简单方法。

1.1 用 Haar 小波树检测非线性变量交互

小波的消失矩数量与最大阶多项式的次数相关，使得该多项式在小波上的投影为零。若满足以下条件，则小波具有 n 个消失矩：
[
\int t^k \psi(x)dx = 0, (k < n) \quad (2.11)
]
根据定义，任何 n - 1 阶多项式在具有 n 个消失矩的小波上的投影为零。小波的这一特性可用于探索性数据分析，以检测低阶非线性交互。

以 Haar 小波为例，Haar 小波有一个消失矩。一般来说，具有 n 个消失矩的小波变换可表示为微分算子形式，相当于取 n 阶导数。因此，Haar 变换与一阶微分算子相关。用 Haar 小波进行一级分解得到的小波系数与沿考虑方向的表面导数成正比。同样，导数的一级小波系数与二阶导数线性成正比。

考虑函数 (y_3(x_i, x_j) = x_i^2 x_j)（(0 < x_i, x_j < 65)，(x_i, x_j) 为整数）。经过一系列小波分解，可推断原始表面方程包含 (x_i^2 x_j) 的交互项。一般来说，识别具有大且相等系数的分解级别是变量之间低阶非线性交互的良好指标。

如果信号是不同交互阶数项的总和，可通过逆分