3、小波理论：从基础定义到实际应用

小波理论：从基础定义到实际应用

1. 小波理论基础概念

1.1 多分辨率分析的定义

多分辨率分析是小波理论的核心概念之一。它由一系列嵌套的闭子空间组成，即…V₂ ⊂ V₁ ⊂ V₀ ⊂ V₋₁…，并具有以下重要性质：
- 向上完备性 ：所有子空间的并集等于 L²(R)，也就是希尔伯特空间中 R 上平方可积函数的集合。用数学表达式表示为 ⋃ₘ∈ℤ Vₘ = L²(R)。
- 向下完备性 ：所有子空间的交集为 {0}，即 ⋂ₘ∈ℤ Vₘ = {0}。
- 尺度不变性 ：如果 f(x) 属于 Vₘ，那么 f(2ᵐx) 属于 V₀。
- 平移不变性 ：对于任意 n 属于 ℤ，如果 f(x) 属于 V₀，那么 f(x - n) 也属于 V₀。
- 基的存在性 ：存在一个函数 φ 属于 V₀，使得 {φ(x - n) | n 属于 ℤ} 是 V₀ 的一个标准正交基。

这个定义是小波理论的基础，它允许我们在实践中定义和验证一个基是否构成多分辨率。

1.2 双正交小波与 Riesz 基

在小波理论中，Riesz 基是另一个重要的定义。一个希尔伯特空间 H 中的族 {φₙ} 是 Riesz 基，需要满足对于任意 y 属于 H，存在 A > 0 和 B > 0，使得：
A ||y||² ≤ ∑ₙ | |² ≤ B ||y||²
并且 {φₙ} 是线性无关的。Riesz 基可以看作是一种