2、软计算中的小波理论详解

软计算中的小波理论详解

1. 引言

近年来，人们在开发非线性多分辨率构造方法上付出了巨大努力。非线性构造主要用于无损图像处理，通过引入非线性算子将小波和近似系数取整为整数，实现系数的高效存储，且这些非线性多分辨率投影方法具有可逆性。

小波理论可看作是傅里叶理论的扩展。在本部分，我们将基于与傅里叶形式主义的类比，介绍标准的小波方法，然后在多分辨率分析的公理形式主义和子带编码框架下更正式地解释小波理论。

2. 小波变换与傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

在离散傅里叶分解中，周期信号由正弦和余弦的加权和表示。具体来说，周期为 $T$ 的平方可积周期信号 $f(t)$ 可分解为：
[f(t) = \sum_{k} a_{k} \sin(k \cdot i) + b_{k} \cos(k \cdot i)]
其中：
[a_{k} = 2 \int_{0}^{T} f(t) \cdot \sin(2 \pi k t) dt]
[b_{k} = 2 \int_{0}^{T} f(t) \cdot \cos(2 \pi k t) dt]

函数 ${\sin(k \cdot i), \cos(k \cdot i)}$ 构成正交基，满足以下正交关系：
[\int_{0}^{1} \sin(m \cdot 2 \pi x) \sin(n \cdot 2 \pi x) dx = 0, m \neq n]
[\int_{0}^{1} \cos(m \cdot 2 \pi x) \cos(n \cdot 2 \pi x) dx = 0, m \neq n]
[\int_{0