23、动态规划：问题与解决方案

动态规划：问题与解决方案

1 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种用于解决复杂问题的强大技术。它通过将问题分解为更小的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而显著提高效率。动态规划的核心思想是： 将一个问题分解为若干个重叠的子问题，通过记录子问题的解来构建原始问题的解 。

动态规划适用于具有以下两个特征的问题：
- 重叠子问题 ：问题可以被分解为多个子问题，且这些子问题会被多次求解。
- 最优子结构 ：问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构造。

1.1 动态规划与贪心算法、分治法的区别

• 贪心算法 ：每一步都选择局部最优解，期望最终得到全局最优解。贪心算法不一定能找到全局最优解，因为它不考虑未来的决策。
• 分治法 ：将问题分解为独立的子问题，递归求解每个子问题，然后合并子问题的解。分治法适用于子问题互不相关的场景。
• 动态规划 ：不仅分解问题，还会记录子问题的解，避免重复计算。动态规划适用于子问题有重叠的场景。

2 动态规划的应用场景

动态规划广泛应用于以下领域：
- 字符串处理 ：如编辑距离、最长公共子序列等。
- 背包问题 ：如0/1背包问题、完全背