10、图问题与遗传算法详解

图问题与遗传算法详解

1. 加权图中寻找最短路径

在构建超级高铁网络时，建设者不太可能一次性连接整个国家，而是希望最小化关键城市之间铺设轨道的成本。从某个起始城市到其他任何城市的成本计算，属于“单源最短路径”问题，即“在加权图中，从某个顶点到其他每个顶点的最短路径（以总边权衡量）是什么？”

1.1 Dijkstra算法

Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题。它以一个起始顶点作为输入，返回加权图中从该顶点到其他任何顶点的最低权重路径，以及到每个顶点的最小总权重。该算法从单源顶点开始，不断探索距离起始顶点最近的顶点，因此和Jarník算法一样，它是贪心算法。当遇到新顶点时，它会记录该顶点与起始顶点的距离，如果找到更短路径则更新此值，同时记录到达每个顶点的边，类似于广度优先搜索。

算法步骤如下：
1. 将起始顶点添加到优先队列中。
2. 从优先队列中取出距离最近的顶点（开始时就是起始顶点），将其称为当前顶点。
3. 查看与当前顶点相连的所有邻居。如果这些邻居之前未被记录，或者当前边提供了到它们的新最短路径，则记录每个邻居与起始顶点的距离、产生此距离的边，并将新顶点添加到优先队列中。
4. 重复步骤2和3，直到优先队列为空。
5. 返回从起始顶点到每个顶点的最短距离以及到达每个顶点的路径。

以下是Dijkstra算法的代码实现：

from __future__ import annotations
from typing import TypeVar, List, Optional, Tuple, Dict