15、模糊集代数运算与相关定理解析

模糊集代数运算与相关定理解析

1. 有限支撑函数与子代数

在模糊集的研究中，有限支撑函数有着重要的地位。若一个函数 (f) 的支撑集 (\text{Supp}(f) = {x \in I : f(x) > 0}) 是有限的，那么就称该函数具有有限支撑。所有具有有限支撑的函数构成的集合 (F) 是代数 (M) 的一个子代数。

具体来说，如果 (f) 和 (g) 都具有有限支撑，那么 (\text{Supp}(f \sqcup g)) 和 (\text{Supp}(f \sqcap g)) 也都是有限的。这是因为：
- (\text{Supp}(f \sqcup g) = \text{Supp}((f \land g^L) \lor (f^L \land g)) \subseteq \text{Supp}(f) \cup \text{Supp}(g))
- (\text{Supp}(f \sqcap g) = \text{Supp}((f \land g^R) \lor (f^R \land g)) \subseteq \text{Supp}(f) \cup \text{Supp}(g))

同时，(\text{Supp}(f^*) = {x’ : x \in \text{Supp}(f)}) 也是有限的，并且常数函数 (0) 和 (1) 都具有有限支撑。集合 (F) 对运算 (\land) 和 (\lor) 也是封闭的。不过需要注意的是，尽管 (f^L) 和 (f^R) 不在 (F) 中，但对于 (g \in F)，函数 (f^L \land g) 和 (f^R \land g) 具有有限支撑，所以它们属于 (F)。

另外，集合 (J)