3、模糊集代数相关知识解析

模糊集代数相关知识解析

1. 伪补与Stone代数

在有界格的研究中，伪补是一个重要概念。设 (X) 为有界格，对于 (x\in X)，若元素 (x^ ) 满足 (x\land x^ = 0)，且当 (x\land y = 0) 时，有 (y\leq x^ )，则称 (x^ ) 为 (x) 的伪补。也就是说，对于每个 (x\in X)，存在唯一的最大元素，它与 (x) 的交为 (0)。

有界格中的元素最多有一个伪补，因为若有两个伪补，它们必然相互小于或等于对方，所以相等。若有界格中的每个元素都有伪补，则该有界格是伪补格，一元运算 (*) 称为伪补运算。所有有限分配格都是伪补格。

方程 (x^ \lor x^{ } = 1) 被称为Stone恒等式，满足此恒等式的伪补分配格称为Stone代数。若 ((S,\lor,\land, ,0,1)) 是Stone代数，那么对于 (S^ = {s^ \in S:s\in S})，((S^ ,\lor,\land, ,0,1)) 是布尔代数，即 ( ) 是 (S^ ) 上的补运算。子格 (S^*) 恰好由 (S) 中的补元组成，有时也称为 (S) 的中心。

对于集合 (U) 的所有模糊子集构成的有界分配格 ((F(U),\lor,\land,0,1)) 是伪补格。若 (A\in F(U))，则其伪补 (A^ ) 定义为：
[
A^ (u) =
\begin{cases}
0, & \text{若 } A(