21、基于流形的图卷积网络（GCN）的最新进展

基于流形的图卷积网络（GCN）的最新进展

1. 图卷积网络基础

图卷积网络（GCN）是一种强大的工具，用于提取图结构数据的有效特征。它利用谱图卷积和一阶近似来考虑不同节点之间的直接关系，从而捕捉数据的相关性信息。通过堆叠多层谱图卷积，可以构建更深的GCN网络，实现输入数据特征与节点间结构关系的有效卷积融合，提取更具代表性的数据信息。

1.1 谱图卷积简化公式

谱图卷积公式可进一步简化为：
[g_q(L) * X = q\left(D^{-\frac{1}{2}}(A + I_N)D^{-\frac{1}{2}}\right)X]
详细的理论分析可参考相关研究。

2. GCN的局部结构保留方法

GCN是基于谱域的图神经网络方法之一，利用图拉普拉斯矩阵描述数据的局部几何分布。然而，在探索数据的局部结构保留方法时，如何获取最有效的高阶相关信息仍是一个挑战。下面将介绍几种不同的GCN模型及其局部结构保留的有效性。

2.1 二阶GCN

传统GCN仅能通过使用一阶切比雪夫多项式的谱图卷积捕捉每个节点与其直接相邻节点之间的结构关系，缺乏丰富的数据结构信息，导致提取的数据特征不足，降低了半监督分类的性能。为解决这一问题，二阶图卷积网络被提出，它同时考虑了不同节点的直接和间接关系，即 (l_{max} = 2) 和 (K = 2)，能够获得图结构数据上谱卷积的二阶近似。

2.1.1 二阶谱卷积公式

[g_q(L) * X = q_0X + q_1 (L - I_N)X + q_2[2(L - I_N)^2 - I_N]X]
该公式包含