68、图金字塔中同源生成元的描绘

图金字塔中同源生成元的描绘

1. 引言

结构模式识别关注对象的描述和分类，它考虑对象各部分之间的关系，一定程度上忽略不同变换引起的几何变化。我们可以将几何对象分解为 0、1、2、3 等维度的单元，分别对应顶点、边、面、体等，进而从对象中提取相关的拓扑信息。

计算拓扑空间中的同源生成元意味着刻画其中的孔洞。一些方法会减少单元数量，从而计算由较少立方体或单纯形组成的对象的同源群。有一种方法利用图金字塔减少单元数量，高效地在顶层计算生成元，且计算出的生成元位于对象的边界上。

在图金字塔的交互式可视化方面，现有的工具使用直线绘制边，无法展示完整信息，如自环会消失，平行边会重叠。而在一些应用中，需要无损压缩的线图表示，以保留其几何结构和拓扑信息。同时，图绘制领域的方法主要关注节点的平面分布，通常不处理图金字塔中出现的自环和多边问题。因此，我们提出一种新算法，用于正确可视化图金字塔，保留原始图像的几何和拓扑结构。

2. 基础知识回顾

2.1 图金字塔

图金字塔 $P$ 是一系列逐步缩减的图的堆栈，即 $P = {G_0, \cdots, G_h}$。每个层级 $G_k = (V_k, E_k)$（$1 \leq k \leq h$）是通过先收缩（收缩过程）再移除（简化过程）下一层级 $G_{k - 1}$ 中的边得到的。

收缩过程中，$G_{k - 1}$ 中被收缩的边定义了称为收缩核（CK）的树，其顶点会合并为上一层级 $G_k$ 中的一个顶点。每个收缩核中的一个顶点称为存活顶点，被认为会存活到下一层级。高层级的顶点通过等效收缩核（ECK）与原始输入相关联。

收缩过程由抽取参数 $(