5、最优控制问题的进化解决方案

最优控制问题的进化解决方案

1. 引言

最优控制问题的核心在于将受控系统的状态从给定的初始状态引导至目标状态。这一过程通常涉及高度非线性的函数，尤其是在没有精确数学模型的情况下。传统方法如基于微积分的动态规划技术在处理非线性和大规模系统时面临诸多挑战，尤其是所谓的“维度的诅咒”。进化算法（EAs）作为全局优化方法，能够处理任意复杂的优化函数，无需梯度信息，为解决这类问题提供了新的思路。

在本章中，我们将探讨如何使用进化算法解决两类常见的最优控制问题：线性二次控制（LQC）问题和推车控制（PCC）问题。我们将通过具体的模拟示例来验证新提出的遗传算子（SBMAC和TVM）相对于传统算子（算术交叉和均匀变异）的有效性。

2. 传统变异算子

2.1 算术交叉/中间交叉

算术交叉（Arithmetic Crossover）是现代进化策略中常用的一种交叉方法，通过父母个体的线性组合生成新的后代。具体来说，两个后代通过父母个体的线性组合产生，即：

[ c_i = \alpha p_i + (1 - \alpha) p_j ]

其中，( p_i ) 和 ( p_j ) 是父母个体的对象变量，(\alpha) 是从均匀随机数生成器 [0, 1] 中选取的。这种方法确保后代在由变量界限定义的超立方体内生成。

2.2 均匀变异

均匀变异（Uniform Mutation，UM）是早期进化策略中常用的变异方法，通过在每个对象变量上添加一个期望值为零、标准差为 (\sigma) 的高斯随机变量。具体来说，对于每个后代个体的对象变量 ( x_i )，变异操作为：

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