47、椭圆曲线与概率信息理论

椭圆曲线与概率信息理论

1. 椭圆曲线相关内容

1.1 标量 - 点乘法

在椭圆曲线的运算中，指数运算可通过平方 - 乘法算法高效执行，而标量 - 点乘法可以使用快速指数运算的加法版本，即双倍 - 加法算法。设 (r = r_{n - 1} \cdots r_1r_0) 是数 (r \in N) 的二进制表示，且 (r_{n - 1} = 1)，则 (rP) 可以通过以下步骤计算：
[
\begin{align }
rP&=(2^{n - 1} \cdot r_{n - 1} + \cdots + 2 \cdot r_1 + r_0)P\
&=(2^{n - 1} \cdot r_{n - 1} + \cdots + 2 \cdot r_1)P + r_0P\
&=2((2^{n - 2} \cdot r_{n - 1} + \cdots + r_1)P) + r_0P\
&\cdots\
&=2(\cdots (2P + r_{n - 2}P) + \cdots + r_1P) + r_0P
\end{align }
]
以下是双倍 - 加法算法的代码实现：

Algorithm A.116.
int Multiply(point P, bitString r_{n - 1} \cdots r_0)
1. Q ← P
2. for i ← n - 2 down to 0 do
3.     Q ← 2Q + r_iP
4. return Q