16、群密码学、离散对数与椭圆曲线：理论与实践

群密码学、离散对数与椭圆曲线：理论与实践

群密码学与离散对数问题

在群密码学中，离散对数问题是核心概念之一。它涉及在一个群中找到某个元素相对于给定生成元的指数。以下是一些相关的练习及问题探讨。

1. 离散对数示例
   • 设 (G = Z_{73}^*) 且 (g = 5)，需要验证 (\langle 5 \rangle = G)，手动执行算法确定 (dlog_5 6) 并检查结果，同时计算特定示例中的 Bob 秘密密钥。
   • 对于离散对数的唯一性，若 (g \in G = \langle g \rangle) 具有阶 (d) 且 (x \in G)，则 (dlog_g x \in Z_d) 是唯一确定的。
2. 加法子群
   • 当 (N = p \cdot q)（(p) 和 (q) 为不同质数）时，可描述加法群 (Z_N) 中阶分别为 (p) 和 (q) 的子群 (S) 和 (T)，并找到群同构 (Z_N \to S \times T)，同时判断是否为环同构。
   • 更一般地，当 (q_1, \cdots, q_r) 两两互质且 (N = q_1 \cdots q_r) 时，描述 (Z_N) 中满足 (#S_i = q_i) 的子群 (S_1, \cdots, S_r) 及群同构 (Z_N \to S_1 \times \cdots \times S_r) 并判断环同构情况。
3. ElGamal 加密计数 </