41、代数与数论基础及其在密码学中的应用

代数与数论基础及其在密码学中的应用

公钥密码系统基于模运算，理解密码学方法需要代数和数论的相关概念和结果。下面为大家详细介绍其中的关键内容。

1. 整数相关概念

• 基本定义
  • (Z) 表示整数环，(N = {z \in Z | z > 0}) 表示自然数子集。
  • 整除 ：若存在 (c \in Z) 使得 (b = ac)，则称 (a) 整除 (b)，记作 (a | b)，(b) 是 (a) 的倍数。
  • 最大公约数 ：(d \in N) 是 (a) 和 (b) 的最大公约数（记作 (gcd(a, b))），需满足 (d) 整除 (a) 和 (b)，且若 (d’) 整除 (a) 和 (b)，则 (d’) 整除 (d)。
  • 互质 ：若 (gcd(a, b) = 1)，则称 (a) 与 (b) 互质。
  • 最小公倍数 ：(m \in N) 是 (a) 和 (b) 的最小公倍数（记作 (lcm(a, b))），需满足 (m) 是 (a) 和 (b) 的倍数，且若 (m’) 是 (a) 和 (b) 的倍数，则 (m) 整除 (m’)。
• 重要命题
  • 命题 A.2 ：对于 (a, b \in Z)，有 (gcd(a, b) \