6、数论与代数基础在密码学中的应用

数论与代数基础在密码学中的应用

1. 数论基础

在数论中，有几个重要的概念值得我们深入探讨。
- 可整除性与质数
- 可整除性定义 ：若整数 (c) 能被非零整数 (a) 整除，意味着存在另一个整数 (b)，使得 (c = a×b)，即 (c) 除以 (a) 或 (b) 时没有余数，数学家常用 (a | c) 表示“(a) 整除 (c)”。
- 可整除性性质 ：可整除性具有传递性，即若 (a) 整除 (c)，且 (c) 整除 (e)，那么 (a) 整除 (e)。证明如下：已知 (c = a×b)，且存在 (d) 使得 (e = c×d)，通过代入可得 (e = a×b×d)，所以 (a) 能整除 (e)。
- 最大公约数（GCD） ：两个数 (a) 和 (b) 的最大公约数 (gcd(a, b)) 是能同时整除 (a) 和 (b) 的最大正整数。当 (gcd(a, b) = 1) 时，(a) 和 (b) 被称为互质。若一个数除了 1 以外，与小于它的任何数都没有公约数，则该数为质数。

概念	定义	示例
可整除性	(c = a×b)，(a	c)
最大公约数（GCD）	能