38、量子密钥分发的安全性与信息调和

量子密钥分发的安全性与信息调和

1. 无条件安全性的理论基础

在量子密钥分发（QKD）中，有一个重要的不等式：
[ \eta \leq 4\varepsilon + 2 \cdot z_{1 - p} \sqrt{n} ]
其中，(z_{1 - p}) 表示标准高斯正态分布的 ((1 - p)) 分位数。这个不等式在分析量子密钥分发的安全性时非常关键，它给出了错误率与其他参数之间的关系。

证明过程基于概率理论中的中心极限定理。假设所有错误都是由窃听者 Eve 的测量引起的，并且 (\eta > 0)。定义随机变量 (X_i)，当第 (i) 位比特出错时 (X_i = 1)，否则 (X_i = 0)。那么 (X = \sum_{i = 1}^{n} X_i) 就是错误的总数。对于大的 (n)，(X/n) 近似服从正态分布。其方差 (\sigma^2) 为：
[ \sigma^2 = \frac{1}{n^2} \sum_{i = 1}^{n} \sigma_i^2 ]
其中，(\sigma_i^2 = \varepsilon_i(1 - \varepsilon_i)) 是第 (i) 位的方差，(\varepsilon_i) 是第 (i) 位的错误率。如果 Eve 在第 (i) 位进行测量，根据命题 10.19，有 (\frac{3}{16} \leq \sigma_i^2 \leq \frac{1}{4})；否则 (\sigma_i^2 = 0)。由此可得 (\sigma^2 \leq \frac{\eta}{4n})，即 (\sigma \leq \frac{\sqrt{\eta}}{2\sqrt{n}})。

以概率 (1 - p)，