30、无限群上可平移随机化分布：从右不变性到随机游走

无限群上可平移随机化分布：从右不变性到随机游走

1. 引言

现代密码学依赖于解决被认为难以处理的计算问题来保障安全协议。然而，目前我们依赖的难解性假设数量有限。如果因数分解算法取得突破或量子计算发展，现有的密码系统可能遭受重创。因此，寻找新的计算难题来源对于构建密码协议至关重要。

许多计算难题在最坏情况下难以解决，但密码学更需要平均情况下困难的问题。以往的研究中，使用群论问题来填补难解性假设的空白是一个有趣的方向，但涉及无限群时，概率建模变得困难，因为离散均匀分布在无限集上没有意义，这使得密码学家失去了推理平均情况难度的关键工具——随机自约简性。

为了解决这个问题，有人引入了右不变分布的概念，希望为无限群提供类似于有限群均匀分布的性质。但我们发现右不变性在应用于密码学方面存在诸多不足，因此探索了基于随机游走的新方法。

2. 右不变性回顾

2.1 高层概述

前人试图为无限群找到均匀分布的合适类似物。有限群 $G$ 上的均匀分布 $U$ 有性质：对于任意 $x, r \in G$，$Pr [U = r] = Pr [U = rx]$。对于无限群，若分布 $P$ 满足对于任意有定义概率的事件 $E \subset G$ 和任意 $x \in G$，都有 $P(E) = P(Ex)$，则称 $P$ 具有右不变性。

需要注意的是，该分布不一定是原子的。在无限群中，如果为每个元素定义概率，右不变性的等式将无法满足。在有限群中，右不变性唯一确定了均匀分布。此外，在有限情况下，均匀分布能将任意实例无损地转换为随机实例，但在无限情况下，右不变性并不直接具备这种性质。

2.2 右不变性的细节