8、递归编程：概念、应用与效率分析

递归编程：概念、应用与效率分析

1. 递归的基本概念

递归是一种独特的问题解决方法，许多计算机语言（包括 C++）都支持这种方法。递归的核心思想是将一个大问题不断分解为更小的同类型子问题，直到子问题变得足够简单，可以直接求解。然后，通过不断合并子问题的解，最终得到原问题的解。

递归的定义类似于一组嵌套的俄罗斯套娃，大娃娃里面套着小娃娃，不断细分，直到最小的那个无法再分。递归算法通过函数调用自身来实现，这就好比把套娃一个一个拆开；而问题的解往往依赖于从递归调用中返回越来越大的子解，就像把套娃再一个一个装回去。

在 C++ 中，函数可以调用自身，这种调用称为递归调用。递归分为直接递归和间接递归。直接递归是指函数直接调用自身，本章的所有示例都属于直接递归；间接递归则是指函数 A 调用函数 B，函数 B 又调用函数 A，形成一个函数调用链，最终回到最初调用的函数。

2. 递归的经典示例：阶乘计算

以阶乘计算为例，数学上，n 的阶乘（n!）用于计算 n 个元素的排列数。n! 可以用递归定义表示为：
[
n! =
\begin{cases}
1, & \text{if } n = 0 \
n \times (n - 1)!, & \text{if } n > 0
\end{cases}
]

下面是一个用 C++ 实现的递归阶乘函数：

int Factorial(int number)
// Pre:  number is nonnegative.
// Post: