37、向量优化与库存管理中的净现值最大化

向量优化与库存管理中的净现值最大化

1. 向量优化问题

向量优化问题旨在解决多目标的优化任务，例如在特定条件下找到最优计划。这里考虑的问题中，存在一个目标集 (U \subseteq R^n)，我们的目标是找到满足一定条件的最优计划 (P^{\star})。

1.1 最优计划的存在与唯一性

通过对一个序列 (\Sigma) 的构造，我们可以得到满足 (P^{(t + 1)} \in U) 且 (P^{(t + 1)} \geq P^{(t)}) 对于所有 (t = 0, 1, 2, \cdots) 的序列。由于空间 (R^n) 的完备性和目标集 (U) 的有界性，存在 (\lim_{t \to \infty} P^{(t)} = P^{\star})，并且 (\lim_{t \to \infty} \Delta P^{(t)} = (0, 0, \cdots, 0)^{\top})。

接下来证明 (P^{\star}) 是问题的唯一最优计划：
- 最优性证明 ：首先证明 (P^{\star}) 满足最优性的必要条件 (7)。若不满足，根据规则 (9) 能找到非零向量 (\Delta P) 使得 (P^{\star} + \Delta P \geq P^{\star})，这与 (P^{\star}) 是序列 (\Sigma) 的极限矛盾。然后假设存在另一个点 (\tilde{P} \in U) 使得 (\exists 1 \leq i_0 \leq m : \tilde{p} {i_0} > p^{\star} {i_0})，通过考虑极限基链，会得出与已知条件矛盾的结果，从而证明 (