WEEK12 周记 作业——区间DP_选做题1

一、题意

1.简述

括号序列问题：
• 定义一个合法的括号序列
• 1. 空序列合法
• 2. S合法，那么(S)和[S]合法
• 3. 假设A和B合法，那么AB合法
• 合法序列 - (), [], (()), ([]), ()[], ()[()]
• 非法序列 - (, [, ], )(, (]), ([()，([)]
• 给定一个序列，求其合法子序列的最长长度。
• Simple Input: ([()[
• Simple Output: 2

2.输入格式

输入测试文件将包含多个测试用例。每个输入测试用例由一行组成，其中只包含字符(、)、[和];每个输入测试的长度都在1到100之间。文件结束由包含单词“end”的行标记，不应该被处理。

3.输出格式

对于每个输入情况，程序应该将最长的可能的正则括号子序列的长度打印在一行上。

4.样例

Input

((()))
()()()
([]])
)[)(
([][][)
end

Output

6
6
4
0
6

二、算法

主要思路

首先我们可以将这个问题进行转化：不难理解，求最长的符合要求的子序列，等价于求最少添加多少个括号使整个序列满足要求。
之后确定DP的状态：我们设$f[i][j]$为区间$[i,j]$的序列，最少需要添加的括号数。
这样，最终我们要求的就是$f[1][n]$。
下面给出DP的状态转移方程：
首先，先考虑边界条件，长度为1的串的答案一定是1，长度为0的串的答案一定是0。
对于某个子序列$S=[si,sj]$，
f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]}     i≤k<jf[i][j]=min\{f[i][k] + f[k+1][ j]\}\ \ \ \ \ i\le k\lt jf[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]}     i≤k<j 对于某个子序列$S=[si,sj]$，且S形如$[S’]$或$(S’)$ ,那么f[i][j]=min{f[i+1][j−1],min{f[i][k]+f[k+1][j]}}     i≤k<jf[i][ j] = min\{f[i+1][ j-1],min\{f[i][k] + f[k+1][ j]\}\}\ \ \ \ \ i\le k\lt jf[i][j]=min{f[i+1][j−1],min{f[i][k]+f[k+1][j]}}     i≤k<j上述方程可能比较难以理解，下面做一下解释。
假如存在一个最少的添加括号的方案，那么只要紧邻着不符合要求的括号加就行，那也必然可以将现有的序列从某一个位置处进行划分，使得将两边的不符合要求的括号分开。但是需要注意的是，这种划分可能会产生新的不符合要求的括号，这是因为划分处在一对符合要求的括号中间。
但是，只要这一对括号不处在两头，那么必然存在一种划分，使得左右两个子序列并不会产生新的不符合要求的括号，从而使得左右两个子序列的$f$值加起来就是父序列的$f$值。
如果有一对符合要求的括号处在序列的两头，这个时候我们就得单独考虑，也就是第2个状态方程。把直接将两头的这对括号去掉作为一种方式加进来考虑。
实际上，如果两头的括号真的是一对，那么直接去掉就可以，但是，是否是一对只能是在获知了最长的符合要求的子序列之后才能知道，而目前我们就是在求这个最长子序列。所以我们只能把去掉作为一种考虑的情况。
像$()()$这种，两头的括号在最长的符合要求的子序列中就不是一对。这个时候就应该是用划分方法才能求出，所以在两头的括号可能是一对的情况下，既要考虑直接去掉，也要考虑划分的情况。

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三、代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int f[110][110];  //[i,j]中最少的不合格的括号数 
int main(){
	while(1){
		memset(f,63,sizeof(f));
		string str;
		char s[110];
		cin>>str;
		if(str == "end") break;
		int lth = str.length();
		strcpy(s,str.c_str());
		
		for(int len=1;len<=lth;len++){
			for(int i=0;i<=lth-len;i++){
				int j = i + len-1;
				if (len == 1){
					f[i][j] = 1;
					continue;
				}
				
				//len > 1
				if((s[i]=='('&&s[j]==')')||(s[i]=='['&&s[j]==']'))
					f[i][j] = i+1<j?f[i+1][j-1]:0;
					
				for(int k=i;k<j;k++){
					int temp = f[i][k]+f[k+1][j];
					if (temp<f[i][j]) 
						f[i][j] = temp;
				}
			}
		}
		printf("%d\n",lth - f[0][lth-1]);
	}
	return 0;
} 
/*
((()))
()()()
([]])
)[)(
([][][)
end
*/